Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН


Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007

Тезисы докладов

Вычислительная алгебра

Стационарные итерационные методы для вычисления формальных решений интервальных линейных систем

Шарый С.П.

Институт вычислительных технологий СО РАН (Новосибирск)


Стационарные итерационные методы
для вычисления формальных решений
интервальных линейных систем
С.П. Шарый

Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск
просп. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090, Россия
shary@ict.nsc.ru

Предметом рассмотрения в нашей работе являются интервальные системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) вида


a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2,
… … … … … …
an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn,

где aij и bi – компактные интервалы вещественной оси, или, в краткой форме,

A x = b

с интервальной n×n-матрицей A = (aij) и интервальным n-вектором правой части b = (bi). Мы будем рассматривать систему (1)-(2) в алгебраическом смысле.

Напомним, что на множестве всех интервалов через операции «над представителями» естественно определяется интервальная арифметика – алгебраическая система, формализующая арифметические действия между интервалами как целостными объектами (см., например, [1]). Формальным решением системы (1)-(2) называется интервальный n-вектор x, который превращает её в равенство после подстановки в эту систему и выполнения всех операций по правилам интервальной арифметики.

Понятие формального решения соответствует, таким образом, привычной общематематической концепции решения уравнения, но рассматриваемой в экзотической алгебраической системе – интервальной арифметике. Использование для его обозначения специального эпитета «формальное» имеет, главным образом, исторические причины: долгое время ценность подобных решений в интервальном анализе не осознавалась, а под «решением» интервальных задач (в частности, уравнений и систем уравнений) стали пониматься совсем другие объекты. Но в последнее десятилетие ушедшего века, в основном трудами российских математиков (см. [2 ,3] и указанные там ссылки), были обнаружены важные приложения формальных решений в задачах оценивания различных множеств решений интервальных задач, возникающих в управлении, идентификации и теории принятия решений. Всё это повысило интерес к вычислительным методам для нахождения формальных решений интервальных систем уравнений.

Цель нашей работы – развитие одношаговых стационарных итерационных методов для вычисления формальных решений ИСЛАУ вида (1)-(2), основанных на технике погружения исходного уравнения в линейное пространство двойной размерности. С незначительными модификациями эти методы могут быть применены и для отыскания формальных решений более общих интервальных матричных уравнений.

  1. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.-Ижевск: 2005.
  2. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределённостью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 51-61.
  3. Shary S.P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity // Reliable Computing. 2002. V. 8, No. 5. P. 321-418.

Ваши комментарии
Обратная связь
[ICT SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)