Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Статистическое моделирование и методы Монте-Карло

Уравнения, содержащие производные дробных порядков находят все более широкое применение при решении различных теоретических и прикладных задач (cite{UFN},cite{KST}). В настоящей работе получен несмещенный алгоритм решения интегро-дифференциального уравнения с дробной производной методом Монте-Карло Дробный пуассоновский процесс порядка $ uin(0,1]$ интенсивности $mu$ определяется как процесс восстановления с плотностью распределения времени ожидания $T$ $psi_ u(t)=mu e_ u(mu t)$, где "дробная экспонента" $e_ u(t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению дробного порядка cite{L}: egin{equation} _0D_t^ u e_ u(t)+e_ u(t)=delta(t),quad tgeq 0. end{equation} Решение уравнения (1) выражается через двухпараметрическую функцию Миттаг-Леффлера $E_{alpha,eta}(z)equivsum_{n=0}^inftyfrac{z^n}{Gamma(alpha n+eta)}:quad e_ u(t)= t^{ u-1}E_{ u, u}(- t^ u).$ При $ u=1$ "дробная экспонента " превращается в обычную экспоненту, и дробный пуассоновский процесс - в обычный пуассоновский процесс. Следующие предложения доказываются в работе. extbf{Лемма.} extit{ Дополнительная функция распределения $ extsf{P}(T>t)=E_ u(-mu t^ u)$ может быть представлена в виде следующего интеграла от односторонней устойчивой плотности} $g^{( u)}$: egin{equation} extsf{P}(T>t)=intlimits_0^infty e^{-mu t^ u/ au^ u}g^{( u)}( au)d au. end{equation} extbf{Теорема.} extit{Определенная выше случайная величина $T$ имеет то же распределение, что и egin{equation} T'=frac{|ln U|^{1/ u}}{mu^{1/ u}}S_ u, end{equation} где $S_ u$ -- случайная величина с плотностью распределения $g^{( u)}$, а $U$ -- не зависящая от нее случайная величина с равномерным распределением в интервале} (0,1). extbf{Следствие.} Из теоремы (3) и результата работы cite{K} следует: egin{equation} T'stackrel{d}{=}frac{|ln U_1|^{1/ u}}{mu^{1/ u}}frac{sin( upi U_2)[sin((1- u)pi U_2)]^{1/ u-1}}{[sin(pi U_2)]^{1/ u}[ln U_3]^{1/ u-1}}, end{equation} где $U_1,U_2$ и $U_3$ -- независимые случайные величины с равномерным на (0,1) распределением. На основе алгоритма (4) разработан и апробирован статистический метод решения интегро-дифференциального уравнения вида egin{equation} _0D_t^ u f(x,t)+mu f(x,t)=intlimits_{R_n}K(x,x')f(x',t)dx'+varphi(x,t), quad xin R^n. end{equation} В отличие от асимптотически несмещенной оценки, приведенной в нашей предыдущей работе cite U, оценка, полученая на основе дробного пуассоновского процесса, является несмещенной. egin{thebibliography}{ extbf{12}} ibitem{UFN} {sl Учайкин В.В.} Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы//Успехи физических наук. 2003. Т.~173. No~8. C.~mbox{847--876}. ibitem{KST}{sl Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J.} Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, 2006. ibitem{L}{sl Laskin N.} Fractional Poisson process // Communiccations in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2003. V.~8. P.~mbox{847--876}. ibitem{K}{sl Kanter M.} Stable densities under change of scale and total variation inequalities//Ann.Probab. 1975. V.~3. P.~mbox{697-707}. ibitem{U}{sl Учайкин В.В., Саенко В.В.} Стохастическое решение уравнений в частных производных дробных порядков// Сибирский журнал вычислительной математики. 2003. Т.~6. No 2. C.~mbox{197-203}.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)