Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

В последние десятилетия большое внимание исследователей было привлечено к существенно трехмерным возмущениям конечной амплитуды (например, монографии [1–3]). Однако почти все упрощенные модели (например, статьи [4–6]) применимы только к нелинейным волнам, распространяющимся преимущественно в одном направлении. Лишь в этих случаях задача сводится к одному уравнению для возмущения свободной поверхности. По этой причине волны конечной амплитуды, движущиеся одновременно в различных направлениях, могут быть описаны только системами уравнений, содержащими как возмущение свободной границы, так и скорость жидкости. В системах предложенных ранее (например, [7–9]), даже линейные члены всех уравнений содержат члены, зависящие от скорости жидкости. Новая комбинированная система уравнений, которая более удобна для анализа, предложена в статье [10].

Предполагается, что жидкость является несжимаемой, ее стационарное течение равно нулю, амплитуды возмущений малы, но конечны, характерные горизонтальные размеры волн и топографии дна велики, а толщина нестационарного вязкого пограничного слоя мала по сравнению с глубиной жидкости, и, наконец, капиллярные эффекты умеренны. Исходная система уравнений Стокса и уравнения неразрывности для неглубокой воды над пологим дном сведена к одному основному нелинейному эволюционному уравнению для пространственных возмущений свободной поверхности и двух линейным вспомогательным дифференциальным уравнениям для определения вектора горизонтальной скорости, осредненного по глубине слоя, который содержится в главном уравнении только в одном члене второго порядка малости. Предложенная модель применима к волнам конечной амплитуды, бегущим под любыми углами. Даже в случае невязких жидкостей этот подход существенно проще, чем известные системы уравнений, где все уравнения содержат не только линейные, но и нелинейные члены (например, [7–9]).

Некоторые решения наших модельных уравнений были найдены численно. Расчеты по модели [6] были выполнены с помощью неявной трехслойной конечно-разностной схемы, детально описанной в статье [11]. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по всем переменным. Результаты ряда вычислительных экспериментов по трансформации первоначально плоских умеренно длинных нелинейных волн также были представлены в статье [11]. Динамика трехмерных возмущений, уединенных в пространстве, продемонстрирована в докладе [12].

Расчеты по модели [10] были проведены следующим образом. На шаге «предиктор» вычисления были сделаны с помощью простейшей замены для вектора скорости. На шаге «корректор» вектор скорости определялся с использованием линейных вспомогательных уравнений. Для нахождения вектора скорости уравнение Пуассона решалось методом быстрого преобразования Фурье по обеим горизонтальным координатам на каждом шаге по времени.

Формально эволюционное уравнение модели [6] позволяет изучать столкновение двух плоских волн, бегущих навстречу друг другу. Однако показано, что в момент их максимального взаимодействия ошибка такого расчета может быть равна приблизительно 10 %. Также выполнено сравнение численных результатов для уединенных в пространстве трехмерных возмущений малой, но конечной амплитуды.

Некоторые тестовые решения найдены в бассейнах с различной топографией. Как и ожидалось, наблюдалось не только изменение скоростей волн, но и возрастание возмущений, распространяющихся в область меньшей глубины жидкости, и, наоборот, их ослабление, когда волны двигаются в более глубокую область. Показано, что над неровностями дна имеют место дополнительные пики и впадины.

Данная работа была частично поддержана ИНТАС – СО РАН (грант 06-9236) и РФФИ (проект 07-01-00574).

Литература

1. Марчук Ан. Г., Чубаров Л. Б., Шокин Ю. И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 175 с.

2. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001. 208 с.

3. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. Б., Шокина Н. Ю. Численное моделирование течений с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 с.

4. Kim K.Y., Reid R.O., Whitaker R.E. On an open radiational boundary condition for weakly dispersive tsunami waves. J. Comput. Phys. 1988. V. 76, no. 2. P. 327–348.

5. Пелиновский Д. Е., Степанянц Ю. А. Неустойчивость уединенных волн в средах с положительной дисперсией в рамках двумерных уравнений Буссинеска // Журн. эксперим. теорет. физики. 1994. Т. 106, № 1(7). С. 192–206.

6. Хабахпашев Г. А. Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит. технологии. 1997. Т. 2, № 2. С. 94–102.

7. Peregrine D. H. Long waves on a beach. J. Fluid Mech. 1967. V. 27, no. 4. P. 815–827.

8. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 175 с.

9. Green A. E., Naghdi P. M. A Derivation of equations for wave propagation in water of variable depth J. Fluid Mech. 1976. V. 78, no. 2. P. 237–246.

10. Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Новый подход к описанию пространственных нелинейных волн в диспергирующих средах // Доклады Академии наук. 2006. Т. 409, № 4. С. 476–480.

11. Литвиненко А. А., Хабахпашев Г. А. Численное моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычислит. технологии. 1999. Т. 4, № 3. С. 95–105.

12. Литвиненко А. А., Сафарова Н. С., Хабахпашев Г. А. Численное моделирование существенно трехмерных нелинейных возмущений свободной поверхности мелких водоемов с пологим дном // «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф»: Тез. докладов IХ Всеросс. конф., Барнаул: Алтайский гос. университет, 2007. – С. 65.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск