Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Рассматриваются вопросы дискретизации линейных дифференциальных (ДУ) и дедискретизации аналогичных разностных (РУ) уравнений. Постановка этих задач связана с актуальными обратными задачами аппроксимационного математического моделирования и идентификации динамических процессов. Так названы задачи приближения сложных динамических объектов простыми моделями (указанного выше типа) на конечных (скользящих или сопрягаемых) интервалах (как правило, сравнимых со временем переходных процессов). Рассмотрены локальные и равномерные (в указанном интервале), точные и приближённые, тейлоровские и вариационные методы дискретизации и дедискретизации. Описаны методы вычислений и даны оценки точности.

Основные результаты заключаются в следующем. (Математические формулы приводятся в транскрипции LATEXa.)

1. Доказана эквивалентность двух способов приближённой равномерной дискретизации: аппроксимационного - тейлоровское приближение решений ДУ по их отсчётам и аналитического - тейлоровское приближение точной формулы дискретизации $alpha=F(a)$ (основанной на матрице наблюдаемости и теореме Гамильтона-Кели). Здесь $alpha$ - вектор коэффициентов РУ, а $a$ - ДУ.

2. Предложен и описан альтернативный указанным тейлоровским вариационный метод дискретизации. При отсутствии ошибок в отсчётах решения ДУ он (теоретически) даёт упомянутое точное решение задачи дискретизации $alpha=F(a)$. Метод является также аппроксимационным (приближение экспоненциальными функциями базисными реше-ниями уравнений указанного выше типа), поэтому он может быть использован как устойчивой к ошибкам метод параметрической идентификации и математического моделирования.

3. Задача идентификации ДУ по отсчётам решения требует решения задачи дедискретизации РУ, полученного в результате такого математического моделирования. Оно означает вычисление векторной функции $a=F^{-1}(alpha)$, обратной упомянутой выше нелинейной функции точной дискретизации $alpha=F(a)$. Предложен метод и алгоритмы приближённого вычисления этой обратной функции.

Использование специфических свойств матриц коэффициентов многочленов Тейлора позволяет избежать обращения матриц Тейлора большой размерности. Основная часть вычислений необходимых элементов обратных матриц Тейлора осуществляется по целочисленным формулам.

Погрешность вычисляемых коэффициентов при дискретизации и дедискретизации числом $Oleft(h^{L+1}ig/(L+1)! ight)$, где $h$ - интервал дискретизации, а $L+1$ - число отсчётов в интервале аппроксимации и идентификации.

Задача вариационной дискретизации и идентификации ставится следующим образом. Пусть {$mathbf{y}, mathbf{widehat{y}}in E$} - векторы из $L+1=N+n+1$ отсчётов в интервале моделирования: исходный и восстановленный (сглаженный) моделью указанного вида соответственно, $Vertmathbf{y}Vert^2=sum_0^L y_i^2$ - квадрат нормы в $E$. Необходимо минимизировать величину $J=Vertmathbf{y}-mathbf{widehat{y}}Vert^2$ при условии, что вектор $mathbf{widehat{y}}in E$ удовлетворяет РУ: $sum_0^n y_{k+i}alpha_i=0$, $k=overline{0,N}$ с неизвестным вектором его коэффициентов $alpha$.

Найден эффективный численный метод решения этой задачи. Он основан на встречных процессах ортогонализации и предложенной специальной, широко и быстро сходящейся итерационной процедуре для оценки параметров РУ $alpha$. После их оценивания используется процедура дедискретизации, описанная выше.

___________________________________________________

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (проект № 85).

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)