Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Предложен вариант метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК) повышенного порядка точности, в котором численное решение задачи Дирихле без особенностей для уравнения Пуассона сходится с четвертым порядком.Известные варианты метода КНК для уравнений математической физики имели порядок сходимости не выше второго.

Метод КНК - это проекционный метод численного решения задач для уравнений математической физики. В нём расчётная область покрывается сеткой, а решение в каждой её ячейке представляется в виде линейной комбинации базисных функций некоторого линейного пространства. Коэффициенты разложения решения по базису находятся из переопределенной системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из коллокаций уравнений исходной задачи, условий согласования и граничных условий.

Ранее [1],[2] в методе КНК для уравнений с частными производными аппроксимировалась лишь искомая функция, и численное решение получалось с порядком сходимости не выше второго. Это имело место даже в случае, когда искомое решение задачи аппроксимировалось полиномами третьей степени. Метод более высокой точности получился, благодаря сведению решения исходной краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка к решению краевой задачи для системы уравнений c частными производными первого порядка. Подобный подход применялся в [3],[4] при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом коллокаций. Неизвестными в построенной системе уравнений первого порядка являются искомое решение исходной задачи Дирихле для уравнения Пуассона и частные производные от этого решения. В данной работе все неизвестные функции в системе уравнений аппроксимируются полиномами третьей степени. Таким образом, частные производные от решения аппроксимируются в том же базисе, что и само решение исходного уравнения Пуассона. Результаты экспериментов показали, что примененный подход позволил повысить порядок сходимости численного решения рассматриваемой задачи.

1. Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С.А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса. // Вычислительные технологии. 2007. Т.~12, №~3. С.~53--70.

2. Isaev V.I., Shapeev V.P. Development of the Collocations and Least Squares Method // Proc. of the Steklov Inst. of Math., 2008, Suppl. 1, pp. S87-S106.

3. Schild K.H. Gaussian collocation via defect correction // Numerische mathematic 58, 1990, P.369-386.

4. deBoor C., Swartz B. Collocation at Gaussian points. SIAM J. Numer. Anal. 10, 582 606 (1973).

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)