Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Задача 2-тензорной томографии будет решаться в следующей постановке. Пусть некоторая ограниченная область двумерного пространства заполнена средой с прямолинейным характером распространения лучей, в которой задано некоторое симметричное 2-тензорное поле. Требуется найти это поле по его продольному и (или) поперечному лучевому преобразованию.

При вычислении продольного лучевого преобразования вдоль луча вклад в ``интеграл'' вносится лишь проекцией искомого поля на луч. Потенциальное 2-тензорное поле, потенциал которого (векторное поле) обращается в нуль на границе области, продольным лучевым преобразованием ``не замечается'' [1]. Таким образом, речь может идти лишь о восстановлении соленоидальной части поля. При вычислении поперечного лучевого преобразования вдоль луча вклад в ``интеграл'' вносится лишь от ортогональной к лучу компоненты искомого тензорного поля. Задача восстановления 2-тензорного поля по поперечному лучевому преобразованию также не имеет единственного решения, так как, в частности, соленоидальные поля поперечным лучевым преобразованием ``не замечаются''.

Для решения поставленной задачи использовался алгоритм основанный на методе наименьших квадратов (МНК). Ранее МНК успешно использовался в работе [2] для восстановления соленоидальной части 2-тензорного поля в случае прямолинейного распространения лучей. В качестве базиса использовались однородные полиномиальные 2-тензорные поля. Предложенная в этой работе схема наилучшего приближения с незначительными модификациями была применена к поставленной авторами задаче. В качестве аппроксимирующей последовательности выбраны локальные базисы, построенные на основе B-сплайнов [3].

Было проведено всестороннее тестирование данного алгоритма с целью определения пределов его применимости. Исследовано влияние на точность восстановления таких факторов как степень дискретизации данных, степень и количество элементов аппроксимирующей последовательности, гладкость искомого 2-тензорного поля.

Были получены аналитические выражения для образов продольного и поперечного лучевых преобразований от локальных базисов, построенных на основе $B$-сплайнов. Эти аналитические выражения позволили не только значительно сократить время вычислений, но и показали лучшую точность восстановления искомого 2-тензорного поля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sharafutdinov V.A. Integral Geometry of Tensor Fields.// Utrecht: VSP, 1994. 271 p.

2. Деревцов Е.Ю., Кашина И.Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Том 5, №1(9). С. 39–62.

3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций.// М.: Наука. 1980.

Работа осуществлена при частичной поддержке Отделения математических наук РАН (проект 1.3.8), СО РАН и УрО РАН (проект фундаментальных исследований, выполняемых совместно со сторонними научными организациями, совместный проект СО РАН и УрО РАН № 14)

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)