Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

В данной работе рассматриваются вопросы решения системы уравнений Максвелла в проводящих трехмерных областях. Используется квазистационарное приближение, при котором не учитываются токи смещения. Система уравнений формулируется в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала в обобщенном виде. Для однозначного определения векторного потенциала используется специальная калибровка кулоновского типа. Данная калибровка позволяет выделить отдельные задачи для скалярного и векторного потенциалов [1].

Приводятся две эквивалентные формулировки данной задачи. В первой из них учет калибровочных условий для векторного потенциала осуществляется путем введения множителя Лагранжа. Во второй формулировке используется метод регуляризации, предложенный в работе [2] для стационарной задачи. Для численного решения данных задач применяется метод конечных элементов. Для аппроксимации решения используются векторные элементы Неделека второго типа первого порядка на тетраэдрах.

Наряду с описанными формулировками задач, в которых условие калибровки является свойством решения, была рассмотрена и третья традиционная формулировка задачи, в которой дивергентные свойства решения определяются дивергентными свойствами правой части задачи.

На примерах численного решения модельных задач был проведен сравнительный анализ трех алгоритмов, вытекающих из представленных формулировок задач. Сравнение проводилось также и для случая несовместной правой части (с ненулевой дивергенцией). Несовместность правой части может возникать либо вследствие накопления погрешностей вычислений, либо вследствие ошибок при вычислении начальных данных. Существенные различия алгоритмов проявились в режимах становления решения, на поздних временах. Алгоритмы, учитывающие калибровочные условия в первых двух подходах, в отличии от традиционной схемы, обладают свойством устойчивости в том числе и на поздних временах. Для случая областей с большими контрастами по проводимости (9 порядков) устойчивым остался только алгоритм, основанный на методе регуляризации.

Литература

1.Иванов М.И., Катешов В.А., Кремер И.А., Урев М.В. Решение трехмерных нестационарных задач импульсной электроразведки // Автометрия. 43, №2. С.33-44.

2.Кремер И.А., Урев М.В. Метод регуляризации стационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. –– Новосибирск, 2009. –– Т. 12, № 2. –– С. 161–170.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)