Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Представлена новая методика построения численных моделей математической физики. Её идейную основу составляют классические методы теории интегрирующих множителей с использованием решений сопряженных задач для операторов моделей изучаемых процессов. Изложение ведется на примере задач гидродинамики, переноса и трансформации многокомпонентных примесей в атмосфере и водных объектах. Алгоритмическая реализация базируется на вариационных принципах. Описания моделей процессов формулируются как в традиционной дифференциальной форме, так и в вариационной, с помощью функционалов - интегральных тождеств. Это обеспечивает возможность комплексирования моделей различных масштабов и декомпозиции на уровне численных алгоритмов реализации этих моделей.

В предлагаемом подходе не используются конструкции традиционных конечно-разностных методов и методов конечных элементов. Здесь применяется гибридная дискретно-аналитическая система аппроксимаций [1], которая строится из соотношений баланса типа формул Грина для конечных объемов с использованием фундаментальных аналитических решений локальных сопряженных задач: по пространственным переменным - для дифференциальных операторов конвекции-диффузии; по времени - для операторов трансформации. Эти решения играют роль интегрирующих множителей. В результате вариационные принципы дают монотонные численные схемы, оптимальные в том смысле, что они получены из условий бистационарности аппроксимаций функционалов к вариациям функций состояния и сопряженных функций. Граничные условия первого, второго и третьего рода даже для сложных областей учитываются точно. Алгоритмы имеют адаптивную организацию в соответствии с критериями, следящими за интенсивностью процессов, как в целом, так и на уровне подсеточных масштабов.

Для уравнений химической кинетики и динамики аэрозолей с помощью такого подхода получается новый класс абсолютно монотонных схем, учитывающих свойства операторов деструкции и продукции многокомпонентных субстанций, участвующих в реакциях. Схемы и алгоритмы, построенные с помощью гибридной структуры, имеют высокую вычислительную эффективность. Они согласованы в прямом и сопряженном вариантах.

При использовании декомпозиции и расщепления возможны различные варианты схем с последовательной и параллельной организацией. Точность локального описания процессов с использованием аппарата аналитических решений локальных сопряженных задач, как на равномерных, так и неравномерных интервалах, получается выше, чем по традиционным дискретным аппроксимациям. Для этого класса схем не требуются искусственные монотонизаторы и процедуры корректировки потоков.

Выполнены теоретические исследования свойств нового класса схем, доказаны теоремы о монотонности, устойчивости, разрешимости и т.д.

Работа поддержана Программами фундаментальных исследований №16 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, проектом РФФИ (№ 07-05-00673) .

Литература

1. V. Penenko, E. Tsvetova. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications// Journal of Сomputational and Applied Mathematics, 226 (2009) 319-330.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)