Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Основные проблемы при моделировании природных процессов возникают из-за существенной разницы в их горизонтальных и вертикальных масштабах. Так, например, при моделировании общей циркуляции озера Байкал масштабы различаются примерно в 600 раз. Поэтому большое значение имеют согласованное описание горизонтальных и вертикальных операторов в моделях и обеспечение достаточной точности вычислений. Особое внимание требуется расчетам вертикальной скорости, которая на несколько порядков величины отличается от горизонтальных составляющих вектора скорости.

В докладе представлены численные модели гидродинамики и процессов переноса примесей в озере Байкал и методы реализации основных типов разработанных для этих целей алгоритмов в рамках схем расщепления по физическим процессам. Основной аппарат для построения численных схем - вариационный принцип и метод конечных объемов.

Модель гидродинамики несжимаемой жидкости в негидростатическом приближении представлена уравнениями движения, неразрывности и энергии. Нелинейное уравнение состояния учитывает изменение плотности в зависимости от температуры и давления. В качестве примесей рассматриваются твердые, растворенные и газовые субстанции. В задачах конвекции – диффузии требуется обеспечить сохранение баланса массы, импульса, количества тепла и примесей. Численные схемы, кроме выполнения соотношений баланса, должны обладать свойствами монотонности, транспортивности, устойчивости. Этими свойствами обладают схемы, построенные с помощью вариационного принципа и метода конечных объемов при использовании фундаментальных аналитических решений специальным образом определённых локальных сопряженных задач [1].

Алгоритм для учета силы Кориолиса, которая представлена в трех уравнениях движения негидростатической модели, основан на нестационарных аппроксимациях экспоненциального типа с антисимметричным матричным оператором в каждой точке пространственно-временной сеточной области. Использование аналитического решения приводит к численным схемам с ортогональными операторами, обладающими свойствами сохранения энергии.

В качестве иллюстрации рассматривается задача об обновлении глубинных вод озера. Специфика процессов перемешивания в глубоком пресноводном водоеме проявляется в том, что естественная конвекция, имеющая место при переходе температуры поверхности воды через температуру максимальной плотности, затрагивает водную толщу лишь частично, до определенной глубины. Это происходит из-за того, что температура максимальной плотности из-за влияния давления практически линейно уменьшается от на поверхности на каждые 100 м глубины. В то же время существуют другие механизмы, которые при определенных условиях запускают глубокую конвекцию, что обеспечивает частичное обновление глубинных вод. Приводятся результаты тестовых и сценарных расчетов, демонстрирующих специфику изучаемых процессов.

Работа поддержана Программами фундаментальных исследований №17 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, проектом РФФИ (№ 07-05-00673).

Литература

V. Penenko, E. Tsvetova. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications// Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, v. 226, 319-330.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)