Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

С точки зрения приложений важным классом решений уравнений Максвелла являются решения, зависящие от времени по гармоническому закону. Тогда для функций, зависящих только от пространственных координат, получаются эллиптические уравнения. Операторы краевых задач для векторного и скалярного потенциалов, обычно решаемых для таких полей, не имеют свойства положительной определенности.

Для области с идеально проводящей границей автором введены иные потенциалы и предложен принцип минимума квадратичного функционала энергии. В частном случае задачи в параллелепипеде для частот, отличных от резонансных, положительная определенность оператора краевой задачи доказана и принцип минимума квадратичного функционала энергии обоснован. Это позволяет использовать энергетический метод для построения приближенных и численных решений.

Уравнения вариационно-разностной схемы получаются как условия минимума функционала энергии по узловым значениям кусочно-линейных функций, которые используются для аппроксимации каждой из декартовых компонент двух искомых векторных потенциалов. Область предварительно делится на тетраэдры, используются блочно структурированные сетки. Граничные условия для одного векторного потенциала состоят в равенстве нулю его касательных к границе компонент, а второй имеет заданную нормальную компоненту. Эти условия аппроксимируются в усредненном по окрестности граничного узла виде за счет определения в данном узле нормали как среднего по прилегающим сеточным треугольникам и равенства нулю соответствующих компонент узловых значений потенциалов.

Поскольку энергетическая норма эквивалентна сумме норм декартовых компонент потенциалов как элементов пространства $W_2^{(1)}(Omega)$, получается та же скорость сходимости сеточных решений к точным, что и при решении краевых задач для уравнения Пуассона. Доказательства даны только для задачи в параллелепипеде.

Преимуществом предложенного подхода является возможность использования энергетического метода, поскольку оператор положительно определен, и простейших конечных элементов, поскольку условия для дивергенции потенциалов выполняются как следствие минимизации функционала энергии на векторных функциях с произвольной дивергенцией.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)