Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Во многих математических моделях эволюционные уравнения (параболического и гиперболического типа) могут содержать эффекты запаздывания различных видов [1]. Примером может служить уравнение Хатчинсона с диффузией, которое можно рассматривать также как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова с запаздыванием. Аналитическое исследование такого рода объектов весьма затруднено, поэтому интерес представляют численные методы их решения. Варианты метода прямых сводят задачу к численному решению систем функционально-дифференциальных уравнений, алгоритмы для последней задачи в настоящее время достаточно хорошо разработаны, однако препятствием является большая жесткость.

В данной работе предлагается использовать конструкции дискретизации сразу по пространственным и временной независимым переменным. Основой идей является разделение дискретной предыстории на прошлую и настоящую часть. По настоящей части (текущему состоянию искомой функции)конструируются полные аналоги алгоритмов, известные [2] для объектов без запаздывания. Для учета прошлой части используется интерполяция с заданными свойствами. Эти конструкции приводят к системам разностных уравнений с эффектом наследственности. Основные проблемы, связанные с нелинейной зависимостью разностных уравнений от предыстории дискретной модели преодолеваются ранее предложенным подходом [3,4] к построению общей схемы численного решения функционально-дифференциальных уравнений, который позволяет исследовать локальную погрешность, устойчивость и сходимость систем с наследственностью.

С единых позиций построены аналоги схем с весами для одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием общего вида, аналог метода переменных направлений для уравнения параболического типа с запаздыванием и двумя пространственными переменными, аналог схемы с весами для уравнения гиперболического типа с запаздыванием. Для одномерного уравнения теплопроводности получены условия на весовые коэффициенты, гарантирующие устойчивость по предыстории начальной функции. Построен метод второго порядка точности по временной составляющей и четвертого порядка точности по пространственной составляющей.

Доказана устойчивость и сходимость аналога метода переменных направлений для уравнения параболического типа с запаздыванием общего вида [5]. Реализованы явные и неявные схемы для волнового уравнения с функциональным запаздыванием.

В докладе также предполагается рассказать о работе, которая проводится на кафедре вычислительной математики Уральского государственного университета имени А.М.Горького по созданию информационно-вычислительного сервера для моделирования эволюционных систем с наследственностью.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-01-00377.

Литература:

1. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York: Sringer-Verlag, 1996.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

3. Пименов В.Г. Общие линейные методы численного решения дифференциально-функциональных уравнений // Дифф. уравнения, 2001. Т.37, N 1. С. 105-144.

4. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: РХД, 2004.

5. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. N 1. С. 102-118.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)