Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Для некоторых задач астрофизики и физики плазмы необходимо вычислять потенциал Phi, создаваемый изолированной системой зарядов с плотностью rho, носитель которой лежит внутри конечной расчетной области D. При этом значения потенциала на границе Г(D) неизвестны, а известно лишь, что потенциал Phi стремится к нулю при удалении от области (другими словами, потенциал заряда q в точке r имеет вид: q/|r-r0|, где r0 - координата заряда).

Для цилиндрической системы координат эта проблема решалась либо с помощью некоторого приближенного вычисления значений потенциала на границе расчетной области [1] и дальнейшем решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона, либо с помощью метода свертки [2], являющимся быстрым методом вычисления интеграла Пуассона (фундаментального решения уравнения Пуассона). К сожалению, оба способа имеют существенные недостатки: приближенное вычисление потенциала требует существенно отодвинуть границы расчетной области D от носителя плотности (объем вычислений может возрасти в десятки раз); а метод свертки в цилиндрических координатах, применяемый ко всей области имеет вычислительную сложность O(N^4 log N) (где N - характерное число узлов по каждой координате) и, соответственно, не может быть использован для сеток с большим количеством узлов (порядка 100^3).

В данной работе предложен новый метод вычисления потенциала изолированных систем в цилиндрических координатах, основанный на адаптации метода Джеймса [3] (предназначенного для декартовых координат) и модификации метода свертки:

1. В исходной области D вычисляем потенциал Phi1, решая вспомогательную задачу Дирихле для уравнения Пуассона с однородными (нулевыми) граничными условиями.
2. Предполагая, что потенциал Phi1 равен нулю как на границе области так и за ее пределами, вычисляем вспомогательные "экранирующие" заряды, расположенные на границе области.
3. Вводим вспомогательную область D2, содержащую в себе область D. Методом свертки для цилиндрических координат вычисляем потенциал на границе Г(D2), создаваемый экранирующими зарядами (которые расположены на границе Г(D)).
4. Вычисляем потенциал экранирующих зарядов Phi2 во всей области D2 с помощью решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
5. Искомый потенциал системы зарядов с плотностью rho в области D вычисляется как разность Phi = Phi1-Phi2.

Преимуществом предложенного подхода является то, что метод свертки применяется не во всей цилиндрической области решения, а только на ее границе. Это позволило уменьшить общую вычислительную сложность алгоритма до O(N^3 log N).

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона осуществлялось конечно-разностным методом. Был разработан и реализован компактный шаблон 4-ого порядка аппроксимации, основанный на известном способе [4] повышении порядка аппроксимации широко используемого 7-точечного шаблона с помощью учёта выражений, содержащих производные функции плотности rho (правой части уравнения Пуассона).

Для постановки краевых условий на оси цилиндра использовался подход [5]. Итоговая СЛАУ, полученная после аппроксимации, решалась с помощью быстрого преобразования Фурье по вертикальной и угловой координатам и прогонкой по радиусу.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 11-01-00307 и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН N.26.

Литература.

1. В.А. Вшивков, В.Н. Снытников, Н.В. Снытников. Моделирование трехмерной динамики вещества в гравитационном поле на многопроцессорных ЭВМ // Вычислительные технологии. Т.11. N.2. С.15-27 (2006)
2. Pfenniger D., Friedli D. Computational issues connected with 3D N-body simulations // Astronomy and Astrophysics. 270, pp.561-572 (1993)
3. James R.A. The Solution of Poisson's Equation for Isolated Source Distributions // J. Comp. Physics. 25, pp.71--93 (1977)
4. Britt S., Tsynkov S., Turkel E. A Compact Fourth Order Scheme for the Helmholtz Equation in Polar Coordinates // Journal of Scientific Computing. Vol.45. P.26-47 (2010)
5. Mohseni K., Colonius T. Numerical Treatment of Polar Coordinate Singularities // J. Comp. Physics. 157, 787-795 (2000)

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)