Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Представлен новый метод построения численных моделей математической физики с помощью вариационных принципов. Основная идея излагается на примере системы уравнений конвекции -диффузии - реакции, составляющих основу математических моделей для взаимосвязанных задач окружающей среды и климата. Фундаментальные свойства этих уравнений таковы, что операторы конвекции- диффузии являются операторами монотонного типа, а операторы реакции для многокомпонентных субстанций представимы в виде суммы изотонного и антитонного операторов.

Вариационный подход, как математический аппарат, дает возможность организовать современные технологии моделирования таким образом, чтобы обеспечить сочетание глобального взгляда на проблему в целом с детальным описанием существа изучаемых многомасштабных явлений. При этом все элементы системы моделирования (модели исследуемых процессов с начальными и граничными условиями, целевые критерии и ограничения, доступная фактическая информация) согласовываются по всему спектру пространственно-временных масштабов на уровне выбора подходящей метрики и представления их в сжатом виде как совокупности функционалов, объединенных вариационным принципом, с использованием сопряженных задач.

Расширенный целевой функционал вариационного принципа анализируется на предмет выделения структуры параллельных ветвей алгоритмов. Дискретные аналоги функционалов и операторов строятся с применением методов декомпозиции, расщепления и конструкций типа конечных объемов. Принципиальным элементом при построении монотонных численных схем является развитый нами аппарат локальных сопряженных задач по пространственным переменным и времени, которые возникают при дискретизации интегрального тождества, сформированного для вариационного описания моделей процессов.

Информация, сконцентрированная в расширенном функционале, развертывается с помощью вариационной техники по всем внутренним степеням свободы моделей процессов через условия стационарности дискретных аналогов функционалов к вариациям переменных состояния и сопряженных функций. В результате это приводит к системам основных и сопряженных уравнений в виде взаимно-согласованных схем расщепления с параллельной организацией алгоритмов реализации. После их решения строятся соотношения чувствительности целевых функционалов к вариациям характеристик внешних степеней свободы. Эти соотношения необходимы для формирования уравнений обратных связей и для решения обратных задач по заданным целевым функционалам.

Работа выполняется при поддержке Программ фундаментальных исследований № 4 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН и проекта РФФИ 11-01-00673.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)