Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Аппроксимация функций и кубатурные формулы

Решетчатые кубатурные формулы дают приближенные значения интегралов по многомерным областям в виде линейных комбинаций значений подинтегральной функции в узлах выбранной решетки.

В конце 60-х годов прошлого века С.Л. Соболев ([1], [2]) предложил алгоритм формул высокой точности, объединяющий подходы функционального анализа и алгебраический. Именно, гладкость интегрантов задавалась принадлежностью их конкретному банаховому функциональному пространству B(Omega), качество формулы определялось нормой функционала погрешности с оптимизацией по коэффициентам. А сам алгоритм строился как сумма локальных формул для интегрирования по элементарным ячейкам решетки с помощью алгебраических формул с теми же узлами, точно интегрирующих многочлены до некоторой степени, связанной с гладкостью интегрантов. С.Л. Соболев установил, что при N, устремленном к бесконечности, последовательность функционалов погрешностей таких формул обладает свойством асимптотической оптимальности на пространствах интегрантов B(Omega)= L_2^(m)(Omega).

Свойство асимптотической оптимальности было установлено и для многих других банаховых пространств, обычно употребляемых в вычислительной математике [3]. Важнейшей особенностью соболевского алгоритма является свойство пограничного слоя: узлам, удаленным от границы области на расстояние больше O(N^{-1/n}) соответствуют одинаковые коэффициенты. Это на порядок уменьшает объем вычислительной работы и позволяет установить для таких формул фактическую эквивалентность асимптотической и порядковой оптимальности на соболевских пространствах W_p^m.

Заложенная в алгоритме алгебраическая точность локальных формул на всех многочленах до некоторой степени M проявилась в условной "асимптотической ненасыщаемости" алгоритма. Именно, построенная последовательность кубатурных формул остается асимптотически (при N, стремящемся к бесконечности) оптимальной на каждом пространстве $W_{p}^{m}$ с m из (n/p, M), то есть в ослабленной форме удовлетворяет введенному К. И. Бабенко определению ненасыщаемости. (У К. И. Бабенко ([4], [5]) универсальна порядковая оптимальность без ограничения сверху на гладкость интегрантов). Ненасыщаемость - важное свойство вычислительных алгоритмов, позволяющее созданным по ним программам автоматически настраиваться на проявляющиеся характеристики гладкостей параметров задач, обеспечивая наилучшие скорости сходимостей аппроксимаций.

Мы ограничиваемся кубической решеткой узлов и предлагаем новый алгоритм решетчатых кубатурных формул обладающих свойством ограниченного пограничного слоя и являющихся асимптотически ненасыщаемыми на всех пространствах $W_{2}^{m} (mathbb{R}^{n})$ с m>n/2.

Сначала выводим формулу коэффициентов оптимальных кубатурных формул для интегралов более общего вида и на более общих пространствах $W_{2}^{mu} (mathbb{R}^{n})$.

Затем упрощаем выражения оптимальных коэффициентов, отсекая слагаемые, порядки которых пренебрежимо малы по сравнению с главным членом. Таким образом, мы приходим к формуле коэффициентов асимптотически оптимальной кубатурной формулы с ограниченным пограничным слоем.

Окончательно, упрощая формулу коэффициентов в пограничном слое, получаем коэффициенты асимптотически ненасыщаемой формулы.

Литература.

1. Соболев,С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. М.: Наука, 1974. - 808 с.

2. Sobolev, S. L. The Theory of Cubature Formulas (Mathematics and Its Applications) / S. L. Sobolev, V. L. Vaskevich. - 1st edition. - Springer, 1997. - URL: http://www.amazon.com/Theory-Cubature-Formulas-Mathematics-Applications/dp/0792346319/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1274770504&sr=8-1. - ISBN 0792346319.

3. Рамазанов, М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем / М. Д. Рамазанов; ИМВЦ УНЦ РАН. - Уфа: ДизайнПолиграфСервис, 2009. - 178 с. - ISBN 978-5-94423-172-7.

4. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. - 2-е изд. - М. ; Ижевск: РХД, 2002. - 848 с. - ISBN 5-93972-162-1.

5. Belykh, V. N. On the best approximation properties of {$C^infty$}-smooth functions on an interval of the real axis (to the phenomenon of unsaturated numerical methods) / V. N. Belykh// Siberian Mathematical Journal. - 2005. - Vol. 46, No. 3. - P. 373-385. - URL: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-005-0040-z.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:49:22)