|
Для численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в [1] предложен алгоритм интегрирования переменного шага на основе шестистадийного метода типа Рунге-Кутта пятого порядка точности, который называют методом Рунге-Кутта-Фельберга (RKF5). Там же построено неравенство для контроля точности вычислений, которое фактически не приводит к дополнительным вычислительным затратам. Область устойчивости метода растянута до 3.6 как по вещественной, так и по мнимой оси, что позволяет использовать его для решения достаточно широкого спектра задач. Данный алгоритм считается одним из лучших среди методов типа Рунге-Кутта пятого порядка точности.
Здесь на основе стадий метода Рунге-Кутта-Фельберга построены две схемы первого и второго порядков точности. Для данных методов получены неравенства для контроля точности вычислений. Для метода второго порядка область устойчивости ограничена числом 28.5 по вещественной оси, а для метода первого порядка - числом 72. Если шаг интегрирования выбирается по устойчивости, то метод второго порядка эффективнее RKF5 почти в 8 раз, а метод первого порядка - в 20 раз.
С использованием трех первых стадий получена оценка максимального собственного числа матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений, что позволяет контролировать устойчивость всех трех численных схем. На основе неравенств для контроля точности и устойчивости сформулирован алгоритм переменного порядка и шага. Из результатов расчетов жестких задач [2] следует повышение эффективности построенного алгоритма, по сравнению с методом RKF5, почти в 20 раз.
В данной работе алгоритм реализован применительно к многопроцессорной ЭВМ, точнее говоря, использовались кластеры МВС-1000/16 (16 процессоров) и МВС-1000/М (768 процессоров). Выполнение параллельных расчетов становятся особенно актуальным, когда число уравнений в системе велико (100 тыс. и более). Такого рода системы возникают, например, при решении нестационарных уравнений в частных производных методом прямых на достаточно мелких сетках. Распараллеливание заключалось в разбиении массивов, в которых хранятся приближенное решение, ее производная и т.п., на ряд блоков (по числу используемых процессоров), и в одновременном вычислении соответствующих величин в каждом блоке на своем процессоре. При необходимости производится периодический обмен информацией между блоками. При реализации использовался язык Fortran-DVM, разработанный в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, и который позволяет в значительной мере автоматизировать процесс распараллеливания.
Проведены тестовые расчеты для трех задач. Две из них могут появиться, в частности, при решении задач диффузии (теплопроводности) в одно- и трехмерном случаях, соответственно. Число уравнений в каждой из этих трех задач составляло один миллион. Время счета, например, одной из жестких систем менялось от 31.4 мин. (на 1 CPU ) до 19.44 сек (на 200 CPU) при заданной погрешности 1.0E-6. Сравнение численных и точных решений показывает высокое качество расчетов. Приводятся количественные характеристики многопроцессорности: время счета, коэффициент ускорения, эффективность использования процессоров и др.
Литература
[1] Fehlberg E. Klassische Runge-Kutta-Formeln funfter und siebenter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle. // Computing, 1969, 4, S. 93-106.
[2] Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем //
Новосибирск: Наука, 1997. - 195 с.