Тезисы докладов

XV конференция по интервальной математике

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), у которых параметры системы ( коэффициенты, начальные данные) известны неточно, но заданы лишь включающими их интервалами, имеет значительный практический интерес. В задачах такого виад требуется описать всю совокупность решений либо решения определенного вид, например попадающие в определенные области.
Мы рассмотрим систему ОДУ y' = f(t, y), где y есть n- мерный вектор состояния системы, ее фазовый портрет есть совокупность ( семейство) траекторий в фазовом пространстве или в пространстве состояний.
Использование интервальных методов позволяет получить гарантированные оценки решений дифференциальных уравнений, но их построение изначально было связано с проблемой экспоненциального отклонения границ, одна от другой, (wrapping effect), проявляющегося в большинстве интервальных и двусторонних методов оценки решений систем обыкновенных дифференциальных eравнений. Пути решения этой проблемы можно подразделить на несколько направлений: это методы преобразования ориентации интервалов (параллелепипедов) относительно координатных осей, использования сумм Минковского для построения многогранных множеств включения, а также модификации методов рядов Тейлора.
Следует отметить, что применение интервальных операций, а также нахождение интервальных расширений функций вносит возмущения векторного поля дифференциального уравнения, что необходимо приводит к появлению неустойчивых дифференциальных уравнений, для которых требуется строить верхние и нижние границы (независимо от устойчивости исходной постановки задачи). Это и опосредует появление экспоненциального роста этих границ, то есть проявление так называемого wrapping effect.
Интересно отметить, что исторически одними из первых интервальных методов решения систем ОДУ были конечно - разностные интервальные методы (например,метод Эйлера), на каждом шаге в исходный интервал включались оценки локальной ошибки. Однако по тем же причинам, указанным выше, их дальнейшее развитие не получилось.
В докладе будут изложены вопросы применения подхода, основанного на аппроксимации оператора сдвига по траектории, при этом символьные формулы решений строятся как решения разностных методов. В конечной точке интервала интегрирования системы к найденному интервалу прибавляется оценка глобальной ошибки.
В качестве разностных схем применяются схемы линейных многошаговых методов типа методов Адамса, а также схемы явных методов Рунге - Кутта (с пошаговым разложением стадий метода к значениям функций в узловых точках интервалов, на которых решается задача.) Большее значение при этом имеет оценка глобальной ошибки в конечной точке интервала интегрирования. Для этого в докладе предлагается использовать два подхода.
Первый, основанный на записи символьной формулы решения возмущенной задачи, построенной на приближенном решении с последующим нахождением ее интервального расширения (глобальная линеаризация вдоль кривой решения). Второй подход, строит фундаментальную матрицу решений и сводит оценку к оценкам Канторовича для операторных уравнений в соответствующих функциональных пространствах.
Приводятся полученные результаты.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск