Исторические заметки

Истоки интервального анализа, как, видимо, и любой глубокой и плодотворной идеи, могут быть прослежены задолго до фактического оформления соответствующего научного направления. Наиболее куръёзной является на этот счёт точка зрения, высказанная изобретателем термина «интервальный анализ» американцем Р.Э. Муром [19] и состоящая в том, что первым «интервальщиком» следует считать Архимеда, широко использовавшего в своих расчётах двусторонние приближения, в частности, для определения границ числа π – отношения длины окружности к её диаметру.

Так или иначе, но развитие «интервальной идеи» состоялось лишь в XX веке, причём оно оказалось тесно связанным с развитием и распространением практических вычислений. А оформление интервального анализа в самостоятельную научную дисциплину вообще стало возможным лишь с появлением ЭВМ.

В 1931 году англичанка Розалинда Янг [25] разработала арифметику для вычислений с множествами чисел. В 1951 году П. Двайер [12] в США рассматривал специальный случай замкнутых интервалов (числовые диапазоны) в связи с необходимостью учёта погрешностей в численном анализе. В 1956-58-м годах появились работы Мечислава Вармуса в Польше [24] и Теруо Сунаги в Японии [23], предлагавшие классическую интервальную арифметику и намечавшие её приложения. При этом в [23] впервые были использованы и современные термины «интервал», «интервальный». Кроме того, Т. Сунага заложил основы интервального алгебраического формализма и дал весьма нетривиальные примеры применений новой техники, к примеру, в численном решении алгебраических уравнений и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. по этому поводу также исследование [17]).

1959-м годом датируется начало многосторонней деятельности Раймона Э. Мура [18], написавшего в 1966-м году первую систематическую монографию по интервальному анализу [19]. Ясный и свежий язык этой книги, новые интересные постановки задач, поучительные применения интервальной техники – всё это оказало громадное влияние на становление и развитие нового научного направления во всём мире. Перу Р.Э. Мура принадлежат также современные книги по интервальному анализу [20,21], причём издание последней было задумано как переработка и осовременивание классической книги [19].

В России и Советском Союзе «интервальную» историю можно отсчитывать с 20-х годов прошлого века, и связана она с именем замечательного русского советского математика и педагога В.М.Брадиса.

Владимир Модестович Брадис известен всем школьникам нашей страны своими математическими таблицами. Но мало кому известна другая, гораздо более серъёзная сторона его научно-педагогической деятельности. С середины 20-х годов прошлого века он проповедовал так называемый метод границ – способ организации вычислений, приводящий к достоверным двусторонним границам точного значения вычисляемого результата, фактически аналогичный интервальной арифметике. Работая в Тверском Педагогическом институте, он выступал с научно-методическими произведениями на эту тему, в частности,

Брадис В.М. Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближёнными числами // Известия Тверского педагогического института. – 1927. – Вып. 3.
Брадис В.М. Теория и практика вычислений. Пособие для высших педагогических учебных заведений. – Москва: Учпедгиз, 1937.
Брадис В.М. Средства и способы элементарных вычислений. – Москва: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1948.

В докомпьютерную эпоху «метод границ» имел мало шансов на широкое воплощение в вычислительной практике, так как требовал увеличения числа выполняемых операций и скрупулёзного их выполнения. Тем не менее, идеи В.М.Брадиса были замечены и его статья «Устный и письменный счёт. Вспомогательные средства вычислений» была внесена в «Энциклопедию элементарной математики» [11]. Параграф 8 этой статьи содержит чёткое изложение учёта погрешностей вычислений по «методу границ», который В.М.Брадис рекомендовал даже для изучения и использования в средней школе. «Энциклопедия элементарной математики» была переведена на немецкий язык в Германской Демократической Республике [13], и, кроме того, переведена и издана в Японии, став, таким образом, известной за пределами нашей страны. Интересно отметить, что основные идеи «метода границ» упомянуты также в известном учебнике по вычислительной математике [2] (Глава 1, §19).

Интересный рассказ о жизни и деятельности В.М.Брадиса можно найти, например, в книге Н.В.Богомолова «Очерки о российских педагогах-математиках» (Москва, издательство «Высшая школа», 2006). К сожалению, в нём почти не отражена «интервальная» составляющая научно-педагогической деятельности В.М.Брадиса.

В 1962-м году в одном из первых выпусков «Сибирского математического журнала» появилась статья Леонида Витальевича Канторовича [6], обозначившего эту тематику как приоритетную для нашей вычислительной науки. Она написана чрезвычайно ясно и чётко, будучи кратким конспектом лекций, прочитанных автором в Ленинграде, Москве и Киеве. Замечательно, что в этой статье, где новое научное направление ещё не называется явно, но рельефно очерчивается, акцент в приложениях нового подхода делается как на повышении точности и надёжности численных алгоритмов, так и на перспективах развития аппарата для оперирования с ограниченными неопределённостями.

К тому времени Л.В.Канторович был уже признанным экспертом в области вычислительной математики, функционального анализа и его приложений. В течение ряда лет он руководил Отделом приближённых вычислений Ленинградского отделения Математического Института АН СССР, одновременно работая в Ленинградском университете на кафедре вычислительной математики математико-механического факультета. В 1960 году Л.В.Канторович уехал из Ленинграда в Новосибирск, взяв с собой группу сотрудников, и вскоре был избран действительным членом Академии Наук СССР по Сибирскому Отделению. Хотя в Новосибирске Л.В.Канторович стал основателем кафедры вычислительной математики НГУ, обстоятельства заставили его переменить область научных интересов и больше к «интервальной теме» он не обращался. Сохранились, тем не менее, свидетельства о том, что отмеченная статья подводила определённый итог интенсивной работы Л.В.Канторовича над новым научным направлением (см. статью проф. Г.Г.Меньшикова [8]).

Создание настоящей школы исследователей по интервальным вычислениям в СССР стало заслугой других людей – выдающегося советского математика и механика, многолетнего директора Института теоретической и прикладной механики Сибирского Отделения Академии Наук академика Николая Николаевича Яненко и его ученика Ю.И.Шокина. Сам Н.Н.Яненко имел немного работ по этой тематике, но лично создал интервальную группу, поддерживал и лелеял новое направление у себя в Институте теоретической и прикладной механики в Новосибирске. Н.Н.Яненко был редактором первой на русском языке книги [11] по интервальному анализу, написанной Ю.И.Шокиным.

Для введения в различные вопросы интервального анализа и его приложения можно порекомендовать читателю книги [1], [4], [5], [10], [11], [14]-[16], [19]-[22]. Электронные версии некоторых из них выложены в раздел «Электронная библиотека» нашего сайта.

Благодарим проф. Г.Г.Меньшикова (Санкт-Петербургский университет) за любезно предоставленные им материалы.

Литература

[1] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. – Москва: Мир, 1987.

[2]Брадис В.М. Устный и письменный счёт. Вспомогательные средства вычислений // Энциклопедия элементарной математики. Книга 1. – Москва: Учпедгиз, 1951.

[3] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – Москва: Физматгиз, 1960 и последующие издания.
[4] Добронец Б.С. Интервальная математика. – Красноярск: Издательство КГУ, 2004.
[5] Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. – Новосибирск: Наука, 1986.

[6] Канторович Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский Математический Журнал. – 1962. – Т. 3, No. 5. – С. 701-709.
[7] Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Конспект лекций. – Санкт-Петербург: СПбГУ, Факультет прикладной математики - процессов управления, 1998-2000.

[8] Меньшиков Г.Г. Упущенные возможности и возможность наверстать упущенное // Санкт-Петербургский Университет. – 2002. – No. 28 (3619). – С. 26-28.
[9] Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. – Иркутск: Издательство Иркутского университета, 1982.
[10] Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. – XYZ, 2010.

[11] Шокин Ю.И. Интервальный анализ. – Новосибирск: Наука, 1981.

[12] Dwyer P.S. Linear Computations. – New York: John Wiley & Sons, 1951.

[13] Enzyklopaedie der Elementarmathematik. Band I “Arithmetik”. Dritte Auflage / Grell H., Maruhn K., Rinow W., eds. – Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966.

[14] Hansen E., Walster G.W. Global optimization using interval analysis. – New York: Marcel Dekker, 2004.

[15] Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. – Москва-Ижевск: Издательство «РХД», 2007.

[16] Kearfott R.B. Rigorous global search: continuous problems. – Dordrecht: Kluwer, 1996.

[17] Markov S., Okumura K. The contribution of T.Sunaga to interval analysis and reliable computing // Developments in Reliable Computing / Cendes T., ed. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. – P. 167-188.

[18] Moore R.E. Automatic error analysis in digital computation // Technical report LMSD84821 of Lockheed Missiles and Space Division. – Sunnyvale: Lockheed Corp., 1959.

[19] Moore R.E. Interval analysis. – Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

[20] Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. – Philadelphia: SIAM, 1979.

[21] Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M.J. Introduction to interval analysis. – Philadelphia: SIAM, 2009.

[22] Neumaier A. Interval methods for systems of equations. – Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

[23] Sunaga T. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis // RAAG Memoirs. – 1958. – Vol. 2, Misc. II. – P. 547-564.

[24] Warmus M. Calculus of approximations // Bull. Acad. Polon. Sci. – 1956. – Cl. III, vol. IV, No. 5. – P. 253-259.

[25] Young R.C. Algebra of many-valued quantities // Mathematische Annalen. – 1931. – Bd. 104. – S. 260-290.