0.1.1. Векторные пространства

В дальнейшем через R обозначается поле вещественных чисел, через N — множество целых, а через N₊ — множество натуральных чисел. Вещественное векторное пространство (или, вещественное линейное пространство) представляет собой множество E элементов произвольной природы (его точки называются векторами ), в котором определены операции сложения векторов +: E × E → E и умножения на число · : R × E → E, удовлетворяющие следующим аксиомам: при всех x, y, z ∈ E и α, β ∈ R

(1) x + y = y + x;

(2) x + (y + z) = (x + y) + z;

(3) существует вектор 0 (нулевой вектор) такой, что x + 0 = 0;

(4) существует вектор – x такой, что x + (–x) = 0;

(5) 1·x = x;

(6) α·(β·x) = (αβ)·x;

(7) α·(x + y) = α·x + α·y;

(8) (α + β)·x = α·x + β·x.

В дальнейшем знак умножения опускается: α·x = αx. Символ 0 используется как для обозначения нуля в R, так и нулевого вектора в E.

Набор {x₁, ..., x_k} ⊂ E называется линейно зависимым, если найдется набор чисел {α₁, ..., α_k} ⊂ R, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такой, что

k ∑ i = 1 αixi = 0;

в противном случае он называется линейно независимым.

Пространство E называется m-мерным, если в нем существует линейно независимый набор из m векторов и любой набор из m + 1 вектора линейно зависим. Произвольный линейно независимый набор m векторов в m-мерном пространстве называется базисом в этом пространстве.

Если {e1, ..., em} = {ei}mi=1= {ei} — базис в m-мерном пространстве E, то для любого вектора x ∈ E найдется единственный набор скаляров {x1, ..., xm} такой, что

x =  m ∑ i = 1 xiei;

(1)

числа x₁, ..., x_m при этом называются координатами вектора x в базисе {e_i}. Соответствие x → {x₁, ..., x_m} отождествляет m-мерное вещественное векторное пространство E с m-мерным вещественным векторным пространством R^m всех упорядоченных наборов m вещественных чисел с "покоординатными" операциями сложения и умножения на скаляры. С точки зрения линейной структуры пространства E и R^m неразличимы. Поэтому в дальнейшем для обозначения произвольного m-мерного вещественного пространства мы будем использовать символ R^m.