0.1.2. Скалярные произведения и нормы

Скалярным произведением в R^m называется отображение (·,·) из E × E в R, удовлетворяющее следующим аксиомам: при всех x, y, z ∈ R^m и α ∈ R

(1) (x, y) = (y, x);

(2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

(3) (αx, y) = α(x, y);

(4) (x, x) ≥ 0;

(5) если (x, x) = 0, то x = 0.

Взамен (x, y) мы в дальнейшем будем писать xy. Вещественное m-мерное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым. Всюду ниже предполагается, что R^m — евклидово вещественное m-мерное векторное пространство.

Нормой на векторном пространстве R^m называется любое отображение || · ||: → R₊, удовлетворяющее следующим требованиям: при всех x, y ∈ R^m и α ∈ R

1) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;

2) ||αx|| = |α|·||x||;

3) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.

Норма вектора x в нормированном пространстве Rm обозначается ||x||Rm, или, кратко, ||x||.

Наличие скалярного произведения в R^m позволяет, в частности, ввести понятие евклидовой нормы (или длины) вектора:

||x|| = √xx.

В дальнейшем евклидова норма векторов обозначается знаком модуля: ||x|| = |x|.

Кроме того, в евклидовом пространстве можно ввести понятие ортогональности векторов: x, y ∈ R^m называются ортогональными, если xy = 0.

Начиная с данного момента, все пространства R^m считаются евклидовыми.