Глава 0. Математические отступления | § 0.1. Векторные пространства |
![]() | 0.1.2. Скалярные произведения и нормы | ![]() |
Скалярным произведением в Rm называется отображение
(1) (x, y) = (y, x);
(2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
(3) (αx, y) = α(x, y);
(4) (x, x) ≥ 0;
(5) если (x, x) = 0, то x = 0.
Взамен (x, y) мы в дальнейшем будем писать xy.
Вещественное m-мерное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым. Всюду ниже предполагается, что
Нормой на векторном пространстве Rm называется любое
отображение
1) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;
2) ||αx|| = |α|·||x||;
3) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
Норма вектора x в нормированном пространстве Rm обозначается ||x||Rm, или, |
Наличие скалярного произведения в Rm позволяет, в частности, ввести понятие евклидовой нормы (или длины) вектора:
||x|| = √xx. |
В дальнейшем евклидова норма векторов обозначается знаком модуля:
Кроме того, в евклидовом пространстве можно ввести понятие ортогональности векторов:
Начиная с данного момента, все пространства Rm считаются евклидовыми.