Введение

Математика, как одна из древнейших наук, в разные времена и в разных областях играла различные роли, от роли простого подручного до роли высшего судьи, решающего вопрос об истине. Такое многообразие ролей определяется возможностью описывать различные объекты и процессы окружающего мира с помощью универсальных в той или иной мере соотношений.

По образному выражению Анри Пуанкаре, математика — это искусство давать одинаковые названия разным объектам. Так, например, известное дифференциальное уравнение линейного осциллятора

x′′ + ω2x = 0

с одинаковым успехом описывает как малые (механические) колебания маятника, так и малые (электромагнитные) колебания в колебательном контуре, а система дифференциальных уравнений Лотки — Вольтерры

x′1= ax1 – bx1x2, x′2 = – cx2 + dx1x2

описывает как динамику поведения биологических популяций "хищник-жертва", так и кинетику простой гипотетической реакции.

Математические модели процессов всегда основаны на некотором упрощении, идеализации, отбрасывании факторов, которые в данный момент или на данном этапе исследований представляются несущественными. Например, уравнения ньютоновой механики не учитывают релятивистских эффектов, уравнение колебательного контура не учитывает нелинейности элементов контура, школьное уравнение, описывающее свободное падение тела в гравитационном поле Земли, не учитывает зависимости силы притяжения от высоты, уравнения Лотки — Вольтерры — внутривидовой конкуренции и т. д. В связи с запросами практики и развитием самóй математики (которая, впрочем, отчасти развивается под воздействием этих запросов) математические модели усложняются, становятся более универсальными, более совершенными.

Процесс математического моделирования тех или иных фихических, механических, биологических, экономических, социальных и т. п. явлений может быть разбит на два больших этапа. Первый из них — построение собственно математической модели. На этом этапе проводится математической формализация явления (выбор характеристик, которые поддаются математическому описанию, нахождение математического выражения соотношений между характеристиками и т. п.), развивается математический аппарат, позволяющий построить математическую модель, проводится ее упрощение и т. д. В данном курсе мы демонстрируем процесс построения математической модели на примере моделей механики сплошной деформируемой среды.

Следующий, по существу, также необходимый этап — исследование получившейся подели. Поскольку получающиеся модели как правило, представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений, допускающие интегрирование только в исключительных случаях, жизненно важно развитие методов их исследования. Здесь можно выделить два больших направления. Первое — так называемые качественные методы — представляет собой совокупность методов, позволяющих делать те или иные заключения о решениях, не зная точного их выражения. Сюда включаются различные теоремы существования и единственности решений, теория устойчивости, асимптотические методы и т. п. Это направление — огромная часть современной математики. Частично она будет излагаться в последующих курсах. Второе направление объединяется названиями численные или приближенные методы. Именно ему посвящена вторая часть курса.

Настоящие лекционные заметки лежат в основе курса "Введение в математическое моделирование", который автор читал на математическом факультете Новосибирского университета в 1994 – 2000 гг.

Необязательные для изучения разделы курса выделены цветом. Цветом и курсивом выделяются также определяемые понятия.