§ 2.2. Методы стрельбы

Здесь описываются методы стрельбы, или пристрелки, для двухточечной краевой задачи.

2.2.1. Общая схема

В идейном плане метод стрельбы для решения краевых задач основывается на методе стрельбы доказательства разрешимости задачи

x′′ = f(t, x, x′),   t ∈ [0, T],

(E2)

x(0) = a,   x(T) = b,

(BC)

Относительно параметра α ∈ R^m решается (в общем случае нелинейное) уравнение

φ(T, α) = b,

(1)

где φ(·, α) — решение уравнения (E2), удовлетворяющее начальному условию

x(0) = a,   x′(0) = α.

(2)

Начальную задачу (E2), (2) решают каким-либо приближенным методом решения задач Коши (например, Рунге — Кутты), а уравнение (1) – каким-либо приближенным методом решения нелинейных (или линейных, если оно линейно) уравнений (например, методом Ньютона).

2.2.2. Проблема выбора точки "склеивания".

Допустим, решения уравнения (E2) "неустойчивы" (т. е. экспоненциально возрастают) вправо. Тогда решения φ будут найдены с большой погрешностью. Вследствие этого левая часть уравнения (1) будет определена с большой ошибкой, что повлечет большую погрешность в определении α и увеличит ошибку в определении искомого решения φ(·, α). В описанной ситуации выход тривиален. Неустойчивость решений уравнения (E2) вправо означает их устойчивость влево. Поэтому можно "стрелять влево с большой точностью", т. е. задавать подлежащий определению параметр β ∈ R^m ("угол прицеливания") на правом конце промежутка [0, T]: решать уравнение

ψ(0, β) = a,

(3)

где ψ(·, β) — решение на [0, T] задачи Коши для уравнения (E2) с начальными условиями

x(T) = b,   x′(T) = β.

(4)

Если уравнение (E2) "неустойчиво в обе стороны" (например, оно автономно, линейно и имеет собственные значения как с положительной, так и с отрицательной вещественной частью), то такая модификация метода уже не помогает. В описанной ситуации можно уменьшить значимость ошибок, вызванных переносом ошибок вдоль неустойчивых решений уравнения (E2), применяя следующее соображение. Выберем точку T₁ ∈ (0, T). Очевидно, если параметры α, β ∈ R^m таковы, что

φ(T1, α) – ψ(T1, β) = 0,   φ′(T1, α) – ψ′(T1, β) = 0,

(5)

где φ(·, α) и ψ(·, β) — решения задач (E2), (2) и (E2), (4) на отрезках [0, T₁] и [T₁, T], соответственно, а штрих означает дифференцирование по первому аргументу, то функция

x(t) =  { φ(t, α) при t ∈ [0, T1], ψ(t, β) при t ∈ [T1, T]

будет искомым решением задачи (E2) – (BC).

Задача 2.2.1. Докажите.

Если, например, в качестве T₁ взять середину отрезка [0, T], то неустойчивость решений φ и ψ будут влиять вдвое меньшее время и, следовательно, левая часть уравнения (5) будет определена точнее, чем для уравнений (1) и (3). Разумеется эти преимущества не даются бесплатно: размерность уравнения (5) возрастает вдвое по сравнению с размерностью уравнений (1) и (3) (последние уравнения — это системы m уравнений с m неизвестными, уравнение же (5) - система 2m уравнений с 2m неизвестными).

Эта идея обобщается в следующем пункте.

2.2.3. Метод параллельной стрельбы.

Выберем точки T₁ < ... < T_n–1, разбивающие отрезок [0, T] на n подотрезков. Для унификации обозначим 0 через T₀, T через T_n, a через a₀, а b через a_n. Для любого i = 0, ..., n – 1 через φⁱ(·, a_i, α _i) обозначим решение задачи Коши для уравнения (E2) на отрезке [T_i, T_i+1] с начальными условиями

x(Ti) = ai,   x′(Ti) = αi.

(6)

Тогда, если a_i (i = 1, ..., n – 1) и α_i (i = 0, ..., n – 1) удовлетворяют уравнениям

φi(Ti+1, ai, αi) = ai+1,   i = 0, ..., n – 1, (φi)′(Ti+1, ai, αi) = αi+1,   i = 0, ..., n – 1,

(7)

то функция x на [0, T], совпадающая с φⁱ(·, a_i, α_i) на [T_i, T_i+1], является решением задачи (E2) – (BC).

Задача 2.2.2. Докажите.

Метод параллельной стрельбы заключается в нахождении x путем решения системы (7) m×(2n–1) уравнений с m×(2n–1) неизвестными a₁, ..., a_n–1, α₀, ..., α_n–1, в которой функции φⁱ — решения начальных задач (E2), (6) — находятся тем или иным приближенным методом.

Задача 2.2.3. Предложите метод типа метода параллельной стрельбы для краевой задачи

x′ = f(t, x),   Ax(0) + Bx(T) = a,

в которой f: [0, T]×R^m → R^m, а A и B — линейные операторы на R^m, такие, что A + B невырожден; a ∈ R^m.

Еще один вариант метода параллельной стрельбы выглядит так. В дополнение к точкам T_i выбираются точки S_i ∈ (T_i, T_i+1) (i = 1, ..., n – 1). Как и выше, через φ_i(·, a_i, α_i) обозначается решение уравнения (E2) на отрезке [T_i, T_i+1], удовлетворяющее начальным условиям

x(Si) = ai,   x′(Si) = αi

(i = 1, ..., n – 1). Значения параметров a_i и α_i находятся из соотношений

φi(Ti+1, ai, αi) = φi+1(Ti+1, ai+1, αi+1),   i = 0, ..., n – 2, φ′i(Ti+1, ai, αi) = φ′i+1(Ti+1, ai+1, αi+1),   i = 0, ..., n – 2, φ0(T0, a0, α0) = a,   φn–1(Tn, an–1, αn–1) = b.

2.2.4. Случай линейной краевой задачи.

В общем случае, как уже говорилось, уравнения (1), (3), (7) являются нелинейными и требуют каких-либо приближенных (как правило, итерационных) методов решения. Если же уравнение (E2) линейное, то, как нетрудно видеть, линейными получаются и перечисленные уравнения.

Задача 2.2.4. Докажите это утверждение.

Эти уравнения можно решать более эффективно, используя их линейность. Рассмотрим для примера метод (1) для краевой задачи (LE) – (BC). Обозначим через φⁱ (i = 0, 1, ..., m) решения на отрезке [0, T] уравнения (LE), удовлетворяющие начальным условиям

x(0) = a,   x′(0) = ei,

(8)

где eⁱ при i = 1, ..., m — векторы канонического базиса в R^m, а e⁰ = 0.

Задача 2.2.5. Докажите, что если ∑^m_i=0α_i= 1, то функция φ(t) = ∑^m_i=0α_iφ(t)есть решение уравнения (LE), удовлетворяющее начальному условию x(0) = a.

Если мы найдем решение (α₀, ..., α_m) системы

m ∑ i = 0 αi = 1, m ∑ i = 0 αiφi(T) = 1,

(9)

то функция φ(t) = ∑mi=0αiφi(t) будет, очевидно, решением задачи (LE) – (BC). Таким образом, для нахождения решения этой краевой задачи потребуется решить всего m+1 начальную задачу (LE), (8), а затем линейную систему (9) размерности (m+1)×(m+1).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 30 May 2002, 14: 32.