§ 2.1. Простейшие краевые задачи

Из m-параметрического семейства решений уравнения (E) единственное решение можно выделять разными способами. Один из них (начальное условие (C)) мы изучали ранее. Если дополнительные условия задаются в разных точках, то такие задачи называют краевыми. В этом параграфе кратко напоминаются основные понятия теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1.1. Постановка краевых задач.

В отличие от теории начальных задач, теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений существенно более сложна и менее завершена. В частности, например, достаточные условия существования и единственности решения краевых задач намного менее продвинуты и далеки от необходимых. Поэтому в данном курсе мы будем рассматривать только простейшую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка вида

x′′ = f(t, x, x′),   t ∈ [0, T],

(E2)

x(0) = a,   x(T) = b,

(BC)

в которой f: [0, T]×R^m×R^m → R^m; a, b ∈ R^m, а также соответствующую линейную задачу

x′′ + A(t)x + B(t)x′ = c(t),   t ∈ [0, T],

(LE)

x(0) = a,   x(T) = b,

(BC)

в которой A(t) и B(t) при каждом t ∈ [0, T] линейные операторы на R^m (напомним, что мы отождествляем их с соответствующими m× m-матрицами), а c: [0, T] → R^m.

2.1.2. Простейшие условия разрешимости краевой задачи (E2) – (BC).

Приведем в качестве примера одно утверждение о существовании решения указанной задачи. Пусть m = 1, а функция f непрерывна по t, удовлетворяет условию Липшица по второму и третьему аргументам и ограничена на всей области определения (т. е. |f(t, x, y,)| ≤ M при некотором M и всех t, x, y ∈ R^m). Тогда задача (E2) – (BC) имеет хотя бы одно решение.

Рис. 11.

Д о к а з а т е л ь с т в о  основывается на так называемом методе стрельбы. Наряду с задачей (E2) – (BC) рассмотрим задачу Коши для уравнения (E2) с начальными условиями

x(0) = a,   x′(0) = α,

(1)

где α — параметр. Если мы укажем такое значение параметра α, при котором решение φ(t, α) задачи (E2) – (1) удовлетворяет условию φ(T, α) = b, то это решение и будет искомым решением задачи (E2) – (BC). Сначала заметим, что в силу теоремы Коши — Пикара решение φ(t, α) на отрезке [0, T] при любом α существует и единственно. Кроме того, по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция α → φ(T, α) непрерывна. Поэтому, если мы покажем, что

φ(T, α) → ± ∞ при α → ±∞,

(2)

то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции при некотором α будет выполняться нужное равенство φ(T, α) = b (рис. 11). Другими словами, мы покажем, что можно "выстрелить" решением φ из начальной точки под таким углом ψ = arctg α к горизонту, чтобы попасть в точку b. Остается доказать (2). Имеем

φ(T, α) = φ(0, α) +  ∫ T 0 φ′(s, α) ds =

= a +  ∫ T 0 [ φ′(0, α) +  ∫ s 0 φ′′(ξ, α)dξ ] ds =

= a + αT +  ∫ T 0 ∫ s 0 f[ξ, φ(ξ, α), φ′′(ξ, α)] dξ ds.

Учитывая, что |f(t, x, y)| ≤ M и, следовательно,

| ∫ T 0 ∫ s 0 f[ξ, φ(ξ, α), φ′(ξ, α)] dξ ds |  ≤ T2M,

получаем (2).

Задача 2.1.1. Восстановите детали доказательства.

Задача 2.1.2. Приведите пример неразрешимой задачи вида (E2) – (BC)

2.1.3. Операторная форма записи задачи (E2) – (BC).

Так же, как и задача (E) – (C), краевая задача (E2) – (BC), как уже отмечалось, может быть записана в операторном виде

F(x) = 0,

(OE)

где F: C²([0, T], R^m) → C([0, T], R^m)×R^m×R^m и задается формулой

F(x) = (x′′(·) – f [·, x(·), x′(·)], x(0) – a, x(T) – b).

2.1.4. О методах решения краевых задач.

Большинство используемых численных методов решения краевых задач может быть отнесено к одному из трех больших классов. Разумеется, границы между этими методами размыты, некоторые методы нельзя отнести ни к одному из этих классов, другие же могут быть отнесены одновременно к двум классам и т. д. Эти классы таковы.

а) Методы стрельбы. Они основываются в идейном плане на соображениях, описанных в п. 2.1.2.

б) Конечно-разностные методы, основывающиеся на построении разностных схем, аппроксимирующих решение исходной задачи.

в) Проекционные, или вариационные, методы, суть которых состоит в проектировании исходной задачи на конечномерное пространство функций.

Следующие три параграфа посвящены описанию этих трех классов.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 30 May 2002, 8: 12.