§ 2.4. Проекционные методы

Здесь обсуждается общая схема проекционных методов решения, а также описывается ряд конкретных методов, основанных на идее проектирования задачи на конечномерное пространство функций.

2.4.1. Общая схема.

Изложим сначала абстрактную схему, которая применима не только к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и ко многим другим задачам. Пусть E и H — два линейных бесконечномерных нормированных пространства. Предположим, что в E и H имеются базисы в следующем смысле: существуют последовательности {en}∞n=1⊂ E и {hn}∞n=1⊂ H такие, что для любых x ∈ E и y ∈ H найдутся числовые последовательности {αn} и {βn} такие, что

x =  ∞ ∑ n = 1 αnen,   y =  ∞ ∑ n = 1 βnhn

(под суммой рядов мы, как обычно, понимаем предел (по норме пространства E или H, соответственно) частичных сумм этих рядов).

Пусть F: E → H. Рассмотрим задачу о нахождении решения уравнения

F(x) = 0,

(1)

т. е. задачу о нахождении такой точки x ∈ E, которая оператором F переводится в нуль (пространства H). Пусть E_k и H_k — подпространства E и H, натянутые на первые k векторов базисов {eⁿ} и {hⁿ}, соответственно, а P_k и Q_k - какие-либо проекторы на эти подпространства. Суть проекционных методов решения задачи вида (1) заключается в замене уравнения (1) приближенным конечномерным уравнением

Fk(x) = 0,   x ∈ Ek,

(2)

где F_k: E_k → H_k, определяется формулой F_k = Q_kF, т. е. задачей о нахождении точки из E_k ("спроектированного" пространства E: E_h=P_hE), удовлетворяющей "спроектированному" на H_k уравнению. Другими словами, требуется найти такую точку x ∈ E, что в разложении ее по базису {eⁿ} все "координаты", начиная с (k+1)-й, обращаются в нуль и такой, что первые k "координат" вектора F(x) в базисе {hⁿ} равны нулю.

Выбор различных базисов {eⁿ} и {hⁿ} и различных проекторов P_k и Q_k приводит к различным методам. Подчеркнем, что уравнение (2) — это уравнение в конечномерном пространстве.

Все методы, описываемые ниже, если не оговорено противное, мы будем рассматривать на примере простейшей краевой задачи

x′′+ A(t)x = c(t),   t ∈ [0, T],

(3)

x(0) = 0,   x(T) = 0.

(2)

Задача 2.4.1. Покажите, что краевая задача для уравнения (3) с краевыми условиями x(0) = a, x(T) = b заменой переменных x(t) = y(t) – (T – t)a/T – tb/T приводится к задаче (3) – (4) (т. е. к задаче с нулевыми краевыми условиями.

2.4.2. Методы Галеркина.

Для описания этого класса методов нам потребуется понятие ортогональности на пространстве непрерывных функций x: [0, T] →R^m. Будем говорить, что непрерывные функции x, y: [0, T] →R^m ортогональны, если величина

< x, y > =  ∫ T 0 x(s)y(s) ds = 0.

(5)

Пусть {en}∞n=1— базис в пространстве функций x: [0, T] →Rm. Мы будем предполагать при этом, что функции en базиса удовлетворяют краевым условиям (4), т. е. предполагать, что en(0) = en(T) = 0. Тем самым любая линейная комбинация ∑kn=1αnen автоматически удовлетворяет (4).

В методе Галеркина решения уравнения (1) предлагается приближенное решение искать в виде линейной комбинации ∑kn=1αnenтак, чтобы функция F(∑kn=1αnen)была ортогональна функциям базиса e1, ..., ek; если бы функция F(∑kn=1αnen)была ортогональна всем векторам базиса, в распространенных ситуациях она должна была бы обращаться в нуль, т. е. ∑kn=1αnenбыла бы решением уравнения (1). Условия ортогональности F(∑kn=1αnen)и el (l = 1, ..., k) и представляют собой k уравнений относительно k неизвестных α1, ..., αk.

Применительно к краевой задаче (3) – (4) метод Галеркина приводит к следующей системе уравнений

k ∑ n = 1 αn  ( ∫ T 0 [(en)′′(s) + A(s)en(s)]el(s) ds )  =

=  ∫ T 0 el(s)c(s) ds,   l=1, ..., k.

Задача 2.4.2. Докажите.

Задача 2.4.3. Для краевой задачи x′′ – (cos t)x = sin t (t ∈ [0, T]), x(0) = x(π) = 0 выпишите систему уравнений на коэффициенты метода Галеркина по базису {sin nt}^∞_n=1.

Этот метод часто называют методом Бубнова — Галеркина, отличая его от метода Галеркина — Петрова, в котором базисные последовательности {en}, по которым разлагается искомая функция, и {hn}, ортогональности к которой требуют от функции F(∑kn=1αnen),вообще говоря, различны. Наконец, методы Галеркина называют также методами моментов.

В качестве базисов в методах Галеркина (а также описываемых ниже других методах) часто выбирают базис тригонометрических функций {sint, cost}∞n=1,полиномиальный базис {tn}∞n=0,базис полиномов Чебышева, более сложные базисы, учитывающие специфику конкретной задачи.

При достаточно общих предположениях функция ∑kn=1αnenсходится в той или иной норме к решению задачи (3) – (4).

2.4.3. Метод коллокации.

В этом методе коэффициенты αn в разложении ∑kn=1αnenприближенного решения ищут из требования, чтобы это приближение удовлетворяло дифференциальному уравнению (3) в заданных k точках x1, ... , xk (называемых узлами коллокации). Очевидно, коэффициенты αn должны удовлетворять системе

k ∑ n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(tl)] = c(tl),   l = 1, ..., k.

(6)

Задача 2.4.4. Выпишите уранения на коэффициенты метода коллокации для краевой задачи, фигурирующей в задаче 2.4.3.

При достаточно общих предположениях полученное методом коллокации приближенное решение ∑kn=1αnenравномерно аппроксимирует решение исходной задачи при стремлении к нулю максимального расстояния между соседними узлами коллокации. Здесь следует отметить, что сходимость метода коллокации весьма сильно зависит от выбора узлов коллокации; ситуация здесь во многом похожа на случай расходимости последовательности интерполяционных полиномов при неудачном выборе узлов интерполяции.

2.4.4. Метод наименьших квадратов.

От указанной сильной зависимости сходимости метода коллокации от расположения узлов коллокации позволяет частично избавиться метод наименьших квадратов, ассоциирующийся с наилучшим квадратичным приближением функций так же, как метод коллокации ассоциируется с интерполяцией функций. Суть метода наименьших квадратов такова. Попытаемся удовлетворить уравнения метода коллокаций (см. (6)) в бóльшем числе точек коллокации (бóльшем, чем число базисных функций, участвующих в приближении решения):

k ∑ n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(tl)] = c(tl),   l = 1, ..., p.

(7)

(

p > k). В общем случае система уравнений (7), в отличие от (6), не разрешима. Поэтому систему (7) удовлетворяют в смысле наименьших квадратов: минимизируют (находят точку минимума) следующей функции:

F(α) =  p ∑ l = 1 || k ∑ n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(s)] – c(tl) || 2

по α. Те значения α1, ..., αk, при которых достигается минимум функции F(α), и определяют приближенное решение ∑kn=1αnenисходной краевой задачи по методу наименьших квадратов.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 30 May 2002, 10:27.