§ 2.5. Сходимость проекционных методов для линейных уравнений

В этом параграфе доказывается одна из общих теорем о сходимости проекционных методов и описывается ее применению к исследованию сходимости метода коллокации.

2.5.1. Постановка задачи.

Общая схема наших рассуждений такова. Мы будем рассматривать проекционные методы решений задачи о неподвижной точке вида

x=Lx + a;

(1)

в этой задаче L — линейный ограниченный (т. е. непрерывный) оператор в некотором банаховом пространстве E, а a — фиксированная точка из E. К виду (1) могут быть приведены многие краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предположим, что в E определена последовательность {E_n} подпространств, и, кроме того, для каждого n определен проектор P_n пространства E на подпространство E_n. Напомним, что отображение P: E → E называется проектором E на подпространство E₀, если P(E) = E₀ и сужение P на E₀ является тождественным: Px = x при всех x ∈ E₀ (эквивалентное определение: P(E) = E₀ и P² = P). В дальнейшем обозначение Q_n мы закрепляем за отображением I – P_n.

Задача 2.5.1. Докажите, что Q_n также является проектором.

Задача 2.5.2. Покажите, что норма любого проектора не меньше единицы.

Общий проекционный метод состоит в приближении решения x* уравнения (1) решениями "более простых" уравнений

Pn(x – Lx – a) = 0;

(2)

в этих уравнениях неизвестная точка x ищется в подпространстве E_n. Заметим теперь, что уравнение (2) эквивалентно уравнению

x = PnLx + Pna

(3)

в E. В самом деле, x = P_nx при x ∈ E_n; поэтому, если x — решение (3), то x = P_n(Lx + a) ∈ E_n, и, следовательно, P_nx = x = P_nLx + P_na, т. е. x — решение (2). Импликация (3) ⇒ (2) очевидна. Проекционными приближениями решения уравнения (1) называются решения (обозначим их через x_n) уравнения (3). Основной вопрос, который нас будет интересовать в этом параграфе — когда проекционные приближения существуют и при каких условиях они сходятся к решению x* уравнения (1)?

Нам потребуется следующее тривиальное обобщение известной теоремы Неймана об обратимости оператора I – L в случае, когда ||L|| < 1.

2.5.2. Лемма.

Пусть M и N — линейные ограниченные операторы, действующие в банаховом пространстве E. Пусть оператор M обратим и ||N||·||M||^–1 < 1. Тогда оператор M + N также обратим, причем,

||(M – N)–1|| ≤  ||M–1|| 1 – ||M–1||·||N|| .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Докажем сначала упомянутую теорему Неймана о представлении (I – L)–1 в виде ∑∞i=0Li. Действительно, поскольку ||L|| < 1, ряд ∑∞i=0Liсходится по норме. Результат применения к нему оператора I – L (как слева, так и справа) есть тождественное отображение:

(I – L) ∞ ∑ i = 0 Li =  ∞ ∑ i = 0 Li –  ∞ ∑ i = 0 Li+1 = I,

что и требовалось.

Лемма доказывается применением доказанного утверждения к к отображению M – N = M(I – M^–1N):

(M – N)–1 = (I – M–1N)–1M–1 =  ( ∞ ∑ i = 0  (M–1N)i ) M–1.

(4)

Применять теорему Неймана можно, поскольку, в силу условий леммы ||M^–1N|| ≤ ||N||·||M||^–1 < 1. Оценка ||(M – N)^–1|| тривиальна:

||(M – N)–1|| =  || ∞ ∑ i = 0  (M–1N)i || · ||M–1|| ≤  ( ∞ ∑ i = 0  ||M–1N)i|| ) ·||M–1|| ≤

1 1 – ||M–1N|| ·||M–1|| ≤  ||M–1|| 1 – ||M–1||·||N|| ,

что и требовалось.

Основная (и единственная) теорема, которую мы докажем, представляет собой простейший вариант общих теорем о сходимости проекционных методов.

2.5.3. Теорема.

Пусть отображение I – L ограниченно обратимо ((I – L)^–1 существует и является ограниченным, т. е. непрерывным). Кроме того, пусть ||Q_nL|| → 0 при n → ∞.

Тогда

1º при всех достаточно больших n уравнение (3) имеет единственное решение (обозначим его x_n);

2º последовательность x_n сходится к решению x* уравнения (1) в том и только том случае, если ||Q_na|| → 0 при n → ∞;

3º найдутся константы μ, M > 0 такие, что

μ||Qnx*|| ≤ ||xn – x*|| ≤ M||Qnx*||;

(5)

4º найдется такая константа C, что

||xn – x*|| ≤ C||Pn||·ρ(x*, En),

(6)

где

ρ(x, En) ≝   inf  y∈En ||x – y||.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Мы начнем с доказательства утверждения 3º. Поскольку в силу условий ||Q_nL|| → 0 при n → ∞ и (I – L)^–1 ограничен, для некоторого q < 1, начиная с некоторого n₀, выполнена оценка

||QnL||·||(I – L)–1|| ≤ q < 1.

Поэтому по лемме 2.5.2 с M = I – L и N = – Q_nL оператор M – N = I – P_nL обратим и

||(I – PnL)–1|| ≤  ||(I – L)–1|| 1 – q  = M.

(7)

Обратимость оператора I – P_nL в точности означает однозначную разрешимость уравнения (3) (этим, в частности, доказано утверждение 1º). Далее, т. к. x* — решение уравнения (1),

Pnx* = PnLx* + Pna.

(8)

Точка же x_n — решение уравнения (3):

xn = PnLxn + Pna.

Вычитая из второго равенства первое, после несложных преобразований получаем

(I – PnL)(xn – x*) = x* – Pnx* = Qnx*.

(9)

Отсюда и из (7) вытекает правая часть неравенства (5):

||xn – x*|| = ||(I – PnL)–1Qnx*|| ≤ ||(I – PnL)–1||·||Qnx*|| = M·||Qnx*||.

Левое неравенство тривиально: поскольку I – P_nL = I – (I – Q_n)L = I – T + Q_nT и ||Q_nL|| → 0, последовательность норм ||I – P_nL|| ограничена некоторой константой (обозначим ее 1/μ). Но тогда из (9) следует неравенство

||Qnx*|| = ||(I – PnL)(xn – x*)|| ≤  1 μ ||xn – x*||,

эквивалентное левой части неравенства (5).

Далее, в силу условий теоремы

||QnLx*|| ≤ ||QnL||·||x*|| → 0 при n → ∞.

Поэтому (см. (8)) ||Q_nx*|| → 0 тогда и только тогда, когда ||Q_na|| → 0. Утверждение 1º следует теперь из уже доказанного неравенства (5).

Докажем 4º. Для любых x ∈ E и y ∈ E_n, поскольку Q_ny = y – P_y = y – y = 0, выполнено

||Qnx|| = ||Qnx – Qny|| = ||Qn(x – y)|| = ||(I – Pn)(x – y)|| ≤ (1 + ||Pn||)||x – y||,

откуда (см. задачу 2.5.1)

||Qnx|| ≤ (1 + ||Pn||) inf y∈En ||x – y|| ≤ 2||Pn||·ρ(x, En).

Из последнего неравенства при x = x* и оценки (5) следует (6):

||xn – x*|| ≤ M·||Qnx*|| ≤ 2M·||Pn||ρ(x, En) = C·||Pn||·ρ(x, En).

Теорема доказана.

2.5.4. О проверке условия условия ||Q_nL|| → 0.

Основную трудность при использовании доказанной теоремы вызывает проверка указанного условия. Прежде чем сформулировать один полезный признак выполнения этого условия, опишем необходимые понятия. Последовательность {L_n} линейных операторов, действующих из банахова пространства E₁ в банахово пространство E₂ называется сильно сходящейся к оператору L, если L_nx → Lx при n→ ∞ для всех x ∈ E₁.

Легко показать, что если последовательность L_n → L сильно, и, кроме того, ||L_n|| равномерно ограничены (||L_n|| ≤ M), то L_n → L равномерно на каждом компакте, т. е. L_nx → Lx равномерно по x из компактного подмножества Ω ∈ E₁:

∀(ε > 0) ∃(N ∈ N) ∀(n ≥ N) ∀(x ∈ Ω) [||Lnx – Lx|| < ε].

Действительно, в предположении противного найдутся такие ε > 0 и относительно компактная последовательность {x_n}, что ||L_nx_n – Lx_n|| > ε. Относительная компактность {x_n} позволяет считать ее сходящейся к некоторому x₀. Но тогда

ε < ||Lnxn – Lxn|| ≤ ||Lnxn – Lnx0|| + ||Lnx0 – Lx0|| ≤

||Ln||·||xn – Lnx0|| + ||Lnx0 – Lx0|| ≤ M·||xn – Lnx0|| + ||Lnx0 – Lx0|| → 0.

Противоречие.

Наконец, напомним, что отображение L: E₁→ E₂ называется вполне непрерывным, если оно переводит любое ограниченное множество в относительно компактное (вполне ограниченное).

Сформулируем признак выполнения условия ||Q_nL|| → 0 в виде леммы.

2.5.5. Лемма.

Пусть оператор L вполне непрерывен, а проекторы P_n равномерно ограничены P_n → I сильно. Тогда ||Q_nL|| → 0 при n → ∞.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что Q_n → 0 при n → ∞ сильно, поскольку P_n → I сильно. Утверждение леммы вытекает теперь из вышеупомянутой равномерной сходимости на компактах сильно сходящейся последовательности операторов: если B — единичный шар в E, то в силу полной непрерывности L множество L(B) относительно компактно, и поэтому Q_n на нем равномерно сходится к нулю.

Задача 2.5.3. Восстановите детали доказательства.

2.5.6. Приложения к методу Галеркина для краевых задач.

Рассмотрим краевую задачу

x′′ – A(t)x = a(t),   t ∈ [0, π],

(10)

x(0) = 0,   x(π) = 0,

(11)

в которой A и a — непрерывные на [0, π] функции, причем A(t) > 0 при всех t.

Сведем краевую задачу (10) – (11) к задаче о неподвижной точке вида (1). Для этого обозначим x′′ через y. Очевидно x является решением краевой задачи

x′′ = y,   t ∈ [0, π],

x(0) = 0,   x(π) = 0.

Если G(t, s) — функция Грина этой краевой задачи, то

x(t) =  ∫ π 0 G(t, s)y(s) ds.

(12)

Из (10) и (10) – (12) вытекает, что

y(t) = A(t) ∫ π 0 G(t, s)y(s) ds + a(t).

(13)

Задача 2.5.4. Докажите, что y является (непрерывным) решением (12) в том и только том случае, когда функция x, определяемая по y равенством (11) является решением краевой задачи (9) – (10).

Определим теперь на пространстве L₂[0, π]¹ отображение

(Ly)(t) =  ∫ π 0 A(t)G(t, s)y(s) ds.

(14)

Задача 2.5.5. Докажите, что L: L₂[0, π] → L₂[0, π].

Рассмотрим в пространстве L₂[0, π] уравнение

y = Ly + a.

(15)

Задача 2.5.6. Докажите, что любое лежащее в L₂[0, π] решение уравнения (12) непрерывно, и таким образом, уравнение (14) эквивалентно краевой задаче (9) – (10) в указанном в задаче 2.5.4 смысле.

Из курса функционального анализа известно, что набор функций

ei(t) = sin it

является базисом в пространстве L₂[0, π], и таким образом любая функция из этого пространства может быть представлена в виде ряда

x(t) =  ∞ ∑ i = 1 xiei(t),

где

xi =  ∫ π 0 x(s)ei(s) ds =  ∫ π 0 x(s)sin is ds

(ряд Фурье).

Обозначим через E_n линейную оболочку n первых векторов указанного базиса, а через P_n — ортогональный проектор на E_n (напомним, что проектор P на E₀ в гильбертовом пространстве называется ортогональным, если (x – Px, y) = 0 при всех y ∈ E₀). Таким образом,

Pnx = Pn ( ∞ ∑ i = 1  xiei(t) )  ≝  n ∑ i = 1 xiei(t).

Уравнение (2), или, что то же, уравнение (3) в E_n теперь можно переписать следующим образом. Ищется функция y(t) = ∑ⁿ_i=1y_ie_i(t),удовлетворяющая равенству

y = Pn(Ly + a).

(16)

По определению P_n,

[Pn(Ly)](t) =  n ∑ i = 1 (Ly)iei(t),

где

(Ly)i =  ∫ π 0 (Ly)(s)ei(s) ds =  ∫ π 0 ( ∫ π 0 A(s)G(s, ξ)y(ξ) dξ ) ei(s) ds =

=  ∫ π 0 ( ∫ π 0 A(s)G(s, ξ) n ∑ j = 1 yjei(ξ) dξ ) ei(s) ds =

=  n ∑ j = 1 yj  ( ∫ π 0 ∫ π 0 A(s)G(s, ξ)ei(ξ)ei(s) dξ ds )  =  n ∑ j = 1 yjaij,

а

(Pna)(t) =  n ∑ i = 1 aiei(t),

где

ai =  ∫ π 0 a(s)ei(s) ds.

Подставляя в (10) – (16) вычисленные выражения и приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах базиса, получим систему уравнений метода Галеркина

yi =  n ∑ j = 1 yjaij+ai   i = 1, ..., n.

(17)

Задача 2.5.7. Какова связь между системой (17) и системой Галеркина в задаче 2.4.2?

2.5.7. Проверка выполнения условий теоремы 2.5.3.

Из курса дифференциальных уравнений (см. также задачу 2.3.1) известно, что если A(t) > 0, то задача (10) – (11) однозначно разрешима при любой функции a ∈ C[0, π] и ее решение задается формулой

x(t) =  ∫ π 0 G(t, s)a(s) ds,

(18)

где G — соответствующая функция Грина. Известно также, что функция Грина непрерывно дифференцируема вне диагонали квадрата [0, π]×[0, π] и ее производная по t терпит на диагонали квадрата разрыв первого рода. Перечисленные свойства позволяют утверждать, что для любой функции a ∈ L₂[0, π] формула (18) определяет функцию x, которую можно трактовать как решение краевой задачи (10) – (11) в некотором ослабленном смысле. А именно, называть x решением уравнения (10), если x′ абсолютно непрерывна и удовлетворяет этому уравнению почти всюду на [0, π]. Подчеркнем, что если a непрерывна, то решение x дважды непрерывно дифференцируемо, т. е. является обычным классическим решением.

Разрешимость краевой задачи (10) – (11) в описанном обобщенном смысле означает, как легко видеть, однозначную обратимость оператора I – L в пространстве L₂[0, π]. Действительно, если x — решение задачи (10) – (11), то функция y = x′′ есть (I – L)^–1a. Свойства функции Грина и представление

[(I – L)–1a](t) = y(t) =  ( ∫ π 0 G(t, s)a(s) ds ) ′′

позволяют легко оценить ||(I – L)–1a||L2[0, π] через ||a||L2[0, π].

Описанная оценка означает ограниченность оператора (I – L)^–1.

Задача 2.5.8. Выведите указанную оценку.

Остается заметить, что Pn → I сильно в L2[0, π] в силу известного из функционального анализа утверждения о полноте системы {sin it}∞i=1в L2[0, π]. Поэтому по лемме 2.5.5 ||QnL|| → 0 при n → ∞. Таким образом все условия теоремы 2.5.3 выполнены. Поэтому, во-первых, система (17) при больших n однозначно разрешима. И, во-вторых, поскольку, в силу полноты базисной системы функций, ||Qna||L2[0, π] → 0 при n → ∞, последовательность приближенных решений yn сходится в L2[0, π] к решению y* уравнения (15) (или, что то же, уравнения (13)). Но тогда функции

xn =  ∫ π 0 G(t, s)yn(s) ds,

как легко видеть, сходятся к решению x* краевой задачи (10) – (11) в пространстве C[0, π].

Задача 2.5.9. Докажите.

¹Напомним, что L₂[0, π] — это банахово (и даже гильбертово) пространство классов эквивалентности измеримых суммируемых с квадратом функций на [0, π] с нормой ||x|| = (∫ ₀^π|x(s)|²ds)^1/2.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 31 May 2002, 11: 53.