§ 3.1. Основные понятия теории интегральных уравнений

В этом параграфе по необходимости кратко описываются основные понятия теории интегральных уравнений.

3.1.1. Классификация интегральных уравнений.

Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном" случае) могут быть записаны в виде

α(t)x(t) –  ∫ b a K(t, s)x(s) ds = f(t),   t ∈ [a, b],

(1)

где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]×[a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде

α(t)x(t) –  ∫ b a K(t, s)x(s) ds = f(t),   t ∈ [a, b].

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

α(t)x(t) –  ∫ b a K[t, s, x(s)] ds = f(t),   t ∈ [a, b]

и уравнения Гаммерштейна

α(t)x(t) –  ∫ b a K(t, s)F[x(s)] ds=f(t), t ∈ [a, b].

3.1.2. Уравнения I и II рода.

Если α(t) ≠ 0 при всех t ∈ [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

x(t) –  ∫ b a K(t, s)x(s) ds = f(t),   t ∈ [a, b].

(2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

∫ b a K(t, s)x(s) ds = f(t),   t ∈ [a, b].

(3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] пределить интегральный оператор

(Ix)(t) =  ∫ b a K(t, s)x(s) ds,   t ∈ [a, b],

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f

(4)

и

0 = Ix + f.

(5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f ∈ E2 уравнение имеет единственное решение x ∈ E1 и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤ ||f ||E2.

Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в ператорном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)^–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения (см. утверждения об альтернативе Фредгольма в курсе функционального анализа). Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I^–1 если и существует, необходимо является неограниченным (см. курс функционального анализа).

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования. Поэтому во втором параграфе мы ограничимся лишь уравнениями II рода.

3.1.3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения типа свертки.

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

K(t, s) =  n ∑ i = 0 ξi(t)ηi(s).

(6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

x(t) =  n ∑ i = 0 ciξi(t) + f(t),

(5)

где

ci =  ∫ b a x(s)ηi(s) ds.

Умножение (7) на η_j и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных c_j:

cj =  n ∑ i = 0 γijci + fj,   j = 1, ..., n,

в которой

γij =  ∫ b a ∫ b a ξj(s)ηi(s) ds,

fi =  ∫ b a f(s)ηi(s) ds.

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):

x(t) =  ∫ t 0 k(t – s)x(s) ds + f(t).

Название наследуется от интегрального оператора свертки

(k*x)(t) =  ∫ t 0 k(t – s)x(s) ds,

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

x(t) =  ∫ ∞ –∞ k(t – s)x(s) ds + f(t).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 31 May 2001, 18:23.