§ 3.2. Приближенные методы решения интегральных уравнений II рода

В этом параграфе кратко описываются основные методы приближенного решения линейных интегральных уравнений II рода.

3.2.1. Методы аппроксимации ядра вырожденными.

Эти методы основываются на двух соображениях. Во-первых, на надежде, что если уравнение корректно, то уравнение с близким к исходному, но вырожденным ядром будет корректно и его решения будут мало отличаться от решений исходного уравнения. Во-вторых, на относительной легкости решения уравнений с вырожденным ядром (см. п. 3.1.3).

Аппроксимировать произвольное ядро вырожденным можно по-разному. Например, если ядро достаточно гладкое, то его можно разложить в ряд, скажем, Тейлора, отбросив "хвост". Конечная сумма ряда, очевидно, представляет собой вырожденное ядро.

Второй способ, который мы упомянем, применим и при менее жестких ограничениях на гладкость ядра. Зафиксируем точки t₁, ..., t_n, s₁, ..., s_n отрезка [a, b]. Значение вырожденного ядра K в точке (t, s) находится из уравнения

| | | | | | | | K(t, s) K(t, s1) K(t, s2) ··· K(t, sn) K(t1, s) K(t1, s1) K(t1, s2) ··· K(t1, sn) K(t2, s) K(t2, s1) K(t2, s2) ··· K(t2, sn) : : : ··· : K(tn, s) K(tn, s1) K(tn, s2) ··· K(tn, sn) | | | | | | | |  = 0.

(1)

Заметим, что если t совпадает с одним из t_i (соответственно, s — с одним из s_i), то K(t_i, s) = K(t_i, s) (соответственно, K(t, s_i) = K(t, s_i)) является решением уравнения (1). Таким образом, удовлетворяющая (1) функция K(t, s) совпадает с K(t, s) на 2n отрезках квадрата [a, b]×[a, b], и поэтому, при определенных условиях, аппроксимирует исходное ядро. Кроме того, очевидно, ядро K(t, s) является вырожденным. Решение уравнения (1) выписывается в явном виде:

K(t, s) = – | | | | | | | |  0  K(t, s1) K(t, s2) ··· K(t, sn) K(t1, s) K(t1, s1) K(t1, s2) ··· K(t1, sn) K(t2, s) K(t2, s1) K(t2, s2) ··· K(t2, sn) : : : ··· : K(tn, s) K(tn, s1) K(tn, s2) ··· K(tn, sn) | | | | | | | | | | | | | | | | K(t1, s1) K(t1, s2) K(t1, s3) ··· K(t1, sn) K(t2, s1) K(t2, s2) K(t2, s3) ··· K(t2, sn) K(t3, s1) K(t3, s2) K(t3, s3) ··· K(t3, sn) : : : ··· : K(tn, s1) K(tn, s2) K(tn, s3) ··· K(tn, sn) | | | | | | | | .

Задача 3.5.1. Докажите.

3.2.2. Метод квадратур.

Методы этого класса основываются на замене интеграла в уравнении квадратурной формулой. Пусть x₁, ..., x_n ∈ [a, b] и

∫ b a φ(s) ds ≈  n ∑ i = 1 Aiφ(ti) —

квадратурная формула для вычисления интеграла по промежутку [a, b].

Если, например, в уравнении

x(t) =  ∫ b a K(t, s)x(s) ds

(2)

положить t = t_i (i=1, ..., n) и заменить интеграл на квадратурную формулу, то мы получим приближенное уравнение для вычисления x(t_i)

x(ti) ≈  n ∑ j = 1 AjK(ti, sj)x(sj),   i = 1, ..., n.

Переходя к точным уравнениям, получим систему уравнений для нахождения приближенных значений x_i решения в узлах сетки {t_i}:

xi =  n ∑ j = 1 AjK(ti, sj)xj,   i = 1, ..., n.

3.2.3. Итерационные методы.

Мы опишем здесь лишь метод простой итерации для уравнения (2). Этот метод с формальной точки зрения ничем не отличается от метода простой итерации решения конечномерных уравнений. Если записать (2) в операторном виде

x = Ix + f,

(3)

последовательные приближения (или итерации), начинающиеся с начальной функции φ₀ определяются рекуррентной формулой

φn=Iφn–1 + f,   i ∈ N,

или, возвращаясь к (2),

φn(t) =  ∫ b a K(t, s)φn–1(s) ds + f(t),   t ∈ [a, b], i ∈ N.

(4)

Разумеется, при вычислениях интеграл в (4) заменяется той или иной квадратурной формулой (и, конечно же, возможность такой замены требует обоснования).

Метод простой итерации применим и к нелинейным интегральным уравнениям. В случае достаточной гладкости ядра применяется также метод Ньютона и другие итерационные методы.

3.2.4. Проекционные методы.

Широко распространены проекционные методы решения интегральных уравнений. Их абстрактная схема ничем не отличается от проекционных методов решения краевых задач (см. §§ 2.4, 2.5). Пусть, например, в некотором функциональном пространстве (скажем, в L2[a, b]) выбран базис {ei}. Один из вариантов метода Галеркина (ср. с методом Галеркина для краевых задач) может выглядеть так. Решение ищется в виде x(t)=∑ni=1αiei(t),коэффициенты αiкоторого должны удовлетворять системе

ci =  n ∑ i = 0 aij + fi,   i = 1, ..., n,

где

aij =  ∫ b a ∫ b a K(t, s)ei(t)ej(s) dt ds,

а

fi =  ∫ b a f(s)ei(s) ds.

3.2.5. Применение интегральных преобразований.

При исследовании широко распространенных уравнений типа свертки, а также многих других интегральных уравнений, особенно в тех случаях когда необходимо найти точное аналитическое выражение решения, часто используются различные интегральные преобразования. Например, при исследовании уравнения Вольтерры типа свертки

x(t)= ∫ t 0 k(t – s)x(s) ds + f(t).

(5)

применяется преобразование Лапласа. Дадим необходимые определения. Образ Φ(τ) (τ ∈ C — независимый комплексный аргумент) при преобразовании Лапласа от функции φ(t) (оригинала) определяется формулой

Φ(τ) =  ∫ ∞ 0 φ(t)e–τt dt.

Преобразование Лапласа можно применять, если, например, φ непрерывна, равна нулю на (–∞, 0] и растет на +∞ не быстрее экспоненты: |φ(t)| < Me^ct при t > 0. Известно, что оригинал может быть найден по образу с помощью формулы (обратное преобразование Лапласа)

φ(t) =  1 2πi ∫ c+i∞ c–i∞ Φ(τ)eτt dτ,

где i — мнимая единица. Нетрудно показать, что преобразование Лапласа линейно, дифференцированию оригинала соответствует умножение образа на независимую переменную τ, а интегрированию — деление образа на τ, произведению образов отвечает свертка оригиналов.

Задача 3.5.2. Докажите.

Продемонстрируем применение преобразования Лапласа на примере уравнения

x(t) =  1 2 ∫ t 0 (x – s)2x(s) ds + sin t.

Несложно показать, что образом при преобразовании Лапласа (Лаплас-образом) функции sin t будет функция 1/(τ² + 1), а Лаплас-образом функции t² — функция 2/τ³. Поэтому, если обозначить через X(τ) Лаплас-образ неизвестной функции x и применить к обеим частям исходного уравнения преобразование Лапласа (учитывая, что свертке соответствует произведение образов), то получим следующее уравнение относительно X:

X(τ) =  1 τ2 + 1  +  1 2 2 τ3 X(τ),

решение которого выписывается в явном виде:

X(τ) =  τ3 (τ – 1)(τ2 + 1)(τ2 + τ + 1)  =

=  1 6(τ – 1)  +  τ + 1 2(τ2 + 1)  –  2τ + 1 3(τ2 + τ + 1)  =

Применение обратного преобразования Лапласа приводит к искомому решению

x(t) =  1 6 ( ex + 3cos t + 3sin t–4e–t/2cos √3 2 x ) .

Основные трудности при использовании интегральных преобразований связаны обычно с нахождением образов и оригиналов функций. На этом этапе часто применяются различные их аппроксимации.

При решении интегральных уравнений используется большой спектр интегральных преобразований. Отметим среди них еще лишь два преобразования: преобразование Лапласа — Карсона

Φ(τ) =  ∫ ∞ 0 φ(t)e–τt dt       ( φ(t) =  1 2πi ∫ c+i∞ c–i∞ Φ(τ) τ eτt dτ )

и преобразование Фурье

Φ(τ) =  1 √2π ∫ ∞ –∞ φ(t)eiτt        ( φ(t) =  1 √2π ∫ ∞ –∞ Φ(τ)e–iτt dτ ) .

File based on translation from T_EX by T_TH, version 3.05.
Created 1 Jun 2002, 8:18.