§ О6. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной

Для простоты и наглядности мы рассмотрим скалярное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, т. е. уравнение

F(t, x, x′) = 0,

(1)

где F: R³ → R — непрерывная функция. Напомним, что функция φ: D(φ) → R называется решением уравнения (1), если D(φ) — промежуток и функция x = φ(t) обращает (1) в тождество по t ∈ D(φ).

Чтобы понять, что представляет собой начальная задача для уравнений, не разрешенных относительно производной, начнем с простейшего примера. Уравнение

(x′)2 – 1 = 0

(2)

очевидно эквивалентно совокупности двух обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

x′ = 1

(2а)

и

x′ = –1.

(2б)

Множество интегральных кривых уравнения (2) представляет собой объединение множеств интегральных кривых уравнений (2а) и (2б) (см. рис. 1). Поэтому для задания единственной интегральной кривой уравнения (2) необходимо задать не только начальные данные t₀ и x₀, но и указать интегральной кривой какого из уравнений (2а) или (2б) мы интересуемся. Вместо этого можно указать значение производной решения в точке t₀ (для уравнения (2а) это значение должно быть равно, очевидно, единице, а для (2б) — минус единице).

Рис. 1.

Применительно к уравнению (1) эти же рассуждения выглядят так. Возьмем произвольные t₀ и x₀. Допустим уравнение

F(t0, x0, p) = 0

(относительно p) разрешимо. Обозначим через p₀ один из его корней (см. рис. 2), на котором изображено множество S = {(t, x, p) ∈ R³: F(t, x, p) = 0}. Задача Коши для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной ставится следующим образом. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

x(t0) = x0,    x′(t0) = p0.

(3)

Рис. 3.

Подчеркнем, что в (3) p₀ не произвольно, а удовлетворяет соотношению F(t₀, x₀, p₀) = 0, т. е. точка (t₀, x₀, p₀) лежит в S. Такая постановка задачи Коши оказывается корректной в том смысле, что в общей ситуации задача (1), (3) имеет локально единственное решение. Точный смысл этой фразы мы сейчас поясним.

Будем всюду ниже предполагать, что функция F непрерывно дифференцируема на R³. Точка (t₀, x₀, p₀) называется регулярной точкой функции F, если

F′p(t0, x0, p0) ≠ 0.

Теорема существования и единственности решения задачи (1), (3). Пусть (t₀, x₀, p₀) — регулярная точка функции F. Тогда в некоторой окрестности J точки t₀ задача (1), (3) имеет единственное решение.

Для  д о к а з а т е л ь с т в а  достаточно заметить, что в силу регулярности точки (t₀, x₀, p₀) по теореме о неявной функции в некоторой окрестности точки D точки (t₀, x₀) существует непрерывно дифференцируемая функция f: D → R такая, что F[t, x, f(t, x)] ≡ 0 при всех (t, x) ∈ D. Как легко видеть, задача (1), (3) локально (т. е. в окрестности точки (t₀, x₀, p₀)) эквивалентна задаче

x′ = f(t, x),

(4)

x(t0) = x0.

(5)

Однозначная же разрешимость задачи (4) – (5) следует из локальной теоремы Коши — Пикара.

Задача О6.1. Восстановите детали доказательства.

Доказанная теорема, по существу, утверждает, что расширенным фазовым пространством для уравнения (1) является множество (многообразие) S. Для понимания геометрического смысла уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, весьма полезной оказывается трактовка уравнения (1) как дифференциального уравнения на многообразии Предположим S является гладким двумерным многообразием, вложенным в R³ (для этого достаточно, например, чтобы на S полный дифференциал функции F был отличен от нуля). Уравнение (1) задает на S векторное поле Φ: S → TS следующим образом. Если y = (t, x, p) ∈ S, то Φ(y) — это вектор из T_yS такой, что dx = p·dt и dt > 0 (см. рис. 3). Уравнение (1) интерпретируется теперь как уравнение

y′ = Φ(y)

(6)

на многообразии S, а начальное условие (3) — как условие

y(t0) = y0 ( = (t0, x0, p0)).

(7)

Рис. 3.

Современная терминология здесь такова. Пространство R³ с координатами (t, x, p) называется пространством 1-струй функции x(t) (1-струя функции x(t) в точке t₀ — это, по определению, класс эквивалентности функции x по отношению равенства значений функций и их производных (соответственно) в точке t₀). В каждой точке (t₀, x₀, p₀) пространства 1-струй определена контактная плоскость, состоящая из приложенных к точке (t₀, x₀, p₀) векторов (dt, dx, dp) таких, что dx = p dt. Множество приложенных к каждой точке пространства 1-струй контактных плоскостей образуют контактную структуру в пространстве 1-струй. Контактная структура "высекает" на лежащем в пространстве 1-струй многообразии S векторное поле Φ в том смысле, что вектор Φ(y) лежит в пересечении контактной и касательной в точке y плоскостей.

Задача О6.2. Пусть (t₀, x₀, p₀) — регулярная точка. Докажите, что если x = φ(t) — решение задачи (1), (3), то в достаточно малой окрестности нуля функции y(σ) = (σ + t₀, φ(σ + t₀), φ′(σ + t₀)) — решение задачи (6) – (7) и, наоборот, если y = ψ(σ) — решение задачи (6) – (7), то в достаточно малой окрестности t₀ функция x(t) = Pψ(t-t₀) — решение задачи (1), (3); здесь P — оператор проектирования на ось 0x: P(t, x, p) = x.

Задача О6.3. Докажите, что в окрестности регулярной точки интегральные кривые уравнения (6) при проектировании на плоскость t0x параллельно оси 0p переходят в интегральные кривые уравнения (1) (см. рис. 4).

Рис. 4.

Подчеркнем еще раз, что задание дополнительного начального условия x(t₀) = p₀ в окрестности регулярной точки (t₀, x₀, p₀) эквивалентно выбору непрерывной ветви f(t, x) решений уравнения F(t, x, p) = 0. После того как такой выбор сделан уравнение (1) локально ничем не отличается от дифференциального уравнения в нормальной форме (4).

Таким образом, единственность полученного решения задачи (1), (3) может нарушаться только в нерегулярных точках функции F. Множество C нерегулярных точек функции F описывается, по определению, системой уравнений

F(t, x, p) = 0,    Fp′(t, x, p) = 0.

В общем случае это множество представляет собой кривую на многообразии S и называется криминантой уравнения (1). Ее проекция D на плоскость t0x параллельно оси 0p называется дискриминантной кривой уравнения. Единственность решения задачи (1), (3) может нарушаться, таким образом, только если (t₀, x₀, p₀) ∈ C. Здесь следует подчеркнуть, что принадлежность начальной точки (t₀, x₀, p₀) криминанте является лишь необходимым условием неединственности решения задачи (1), (3). Можно сформулировать те или иные достаточные условия, но обычно при исследовании конкретных уравнений вопрос о неединственности решения задачи Коши проще выяснить непосредственно.

Задача О6.4. Пусть (t₀, x₀, p₀) лежит на криминанте уравнения

(x′)2 = x.

(8)

Единственно ли решение соответствующей задачи Коши? Аналогичный вопрос для уравнений

(x′)3 = x.

и

(x′)2 = t.

(9)

Интегральные кривые уравнений (8) и (9) и интегральные кривые соответствующих уравнений на многообразии S изображены на рис. 5а и 5б.

Рис. 5.

Задача О6.5. Опишите множества всех решений уравнений (8) и (9).

Решение φ: D(φ) → R уравнения (1), в каждой точке которого нарушается его локальная единственность называется особым; нарушение локальной единственности здесь означает, что в любой окрестности точки t₀ ∈ D(φ) уравнение (1) имеет по крайней мере два различных решения, удовлетворяющих условиям x(t₀) = φ(t₀), x′(t₀) = φ′(t₀). В силу теоремы существования и единственности интегральная кривая, отвечающая особому решению, обязана быть частью дискриминантной кривой. Обратное, вообще говоря, не верно.

Задача О6.6. Докажите, что дискриминантная кривая уравнения (8) является особым решением, а уравнения (9) — нет.

Задача О6.7. Найдите дискриминантную кривую уравнения

(x′)2 – (t + x)x′ + tx = 0.

Является ли она интегральной кривой, отвечающей особому решению?

Если удается найти интеграл

Φ(t, x, C) = 0

уравнения (1), то огибающая семейства кривых (см. курс математического анализа), определяемых этим интегралом (если она существует) является особым решением.

Задача О6.8. Докажите это утверждение.

Несколько слов о методах интегрирования дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Наиболее распространенным приемом интегрирования является параметризация уравнения. Допустим двумерное многообразие S = {(t, x, p) ∈ R³: F(t, x, p) = 0} допускает параметризацию

t = Φ(ξ, η),    x = Ψ(ξ, η),    p = Ξ(ξ, η),

(10)

т. е. существуют область D ⊂ R² и непрерывно дифференцируемые функции Φ, Ψ и Ξ на D такие, что отображение (Φ, Ψ, Ξ) осуществляет взаимно однозначное соответствие между D и S, в частности,

F[Φ(ξ, η), Ψ(ξ, η), Ξ(ξ, η)] ≡ 0,    (ξ, η) ∈ D.

(11)

Тогда соотношение dx = p·dt переписывается в виде

Ψ′ξdξ + Ψ′η dη = Ξ·(Φ′ξ dξ + Φ′η dη).

(12)

Теперь если уравнение (12) (рассматриваемое, например, в симметричной трактовке) имеет интеграл

I(ξ, η, C) = 0,

из которого удается выразить решение уравнения (1), например, в виде

ξ = ξ(σ), η = η(σ),

то в силу (10) и (11)

t = Φ[ξ(σ), η(σ)],    x = Ψ[ξ(σ), η(σ)]

представляет собой параметризацию решения уравнения (1). Разумеется, нужно внимательно следить за эквивалентностью переходов и, в частности, за отличием от нуля соответствующих дифференциалов (см. задачи О6.13 и О6.14).

Задача О6.9. Проинтегрируйте уравнение

x(x′)2 + 2tx2 – x = 0.

Литературные указания. Исследование дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, можно найти почти в каждом учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., напр., [Айнс, Арнольд, Бибиков, Карташов — Рождественский, Петровский, Тихонов — Васильева — Свешников, Федорюк, Эльсгольц]).

Задачи. О6.10. Пусть в уравнении F(t, x) = 0 функция F: R² → R непрерывно дифференцируема. Пусть множество S является цилиндром с основанием {(τ(p), p): p ∈ E}. Пусть, наконец, точка p₀ — точка глобального минимума функции τ. Докажите, что дискриминантная кривая этого уравнения, проходящая через точку (τ(p₀), 0), не представляет собой особого решения. Докажите, что задача Коши для этого уравнения с начальными данными (t₀, x₀, p₀), где t₀ = τ(p₀), а x₀ ∈ R произвольно, имеет в точности два решения. Верны ли эти утверждения, если p₀ — точка локального минимума функции τ?

О6.11. Пусть f и g — заданные на R непрерывные функции и t₀ — единственное решение уравнения f(t) = g(t). Докажите, что дискриминантная кривая уравнения [x′ – f(t)]·[x′ – g(t)] = 0 не является особым решением и через каждую ее точку проходит ровно четыре максимальных решений этого уравнения.

О6.12. Докажите, что через каждую точку графика особого решения проходит бесконечное число интегральных кривых.

О6.13. Пусть ξ = u(η) — решение уравнения (12) на промежутке J и (d/dη)Φ[u(η), η] ≠ 0 при η ∈ J. Докажите, что t = Φ[u(η), η], x = Ψ[u(η), η] является параметризацией решения уравнения (1).

О6.14. Пусть x = φ(t) — решение уравнения (1) и пусть прообраз в D при отображении (Φ, Ψ, Ξ) интегральной кривой, отвечающей этому решению, задается тождеством ξ = U(η). Докажите, что (u(η), η) является решением уравнения (12).

О6.15. Пусть F — непрерывная функция. Покажите, что F([(x – C)/(t)]) = 0 — полный интеграл уравнения F(x′) = 0.

О6.16. Пусть в уравнении f(x′) – t = 0 функция f: R → R непрерывно дифференцируема. При каких условиях функции t = f(σ) и x = ∫0σsφ′(s) ds + C параметрически определяют все решения данного уравнения?

О6.17. Для уравнения Лагранжа

x = tf(x′) + g(x′)

с непрерывно дифференцируемыми функциями f и g естественной параметризацией поверхности S является следующая: t = ξ, x = ξf(η), p = η. Исследуйте множество решений уравнения Лагранжа.

О6.18. Уравнение

x = tx′ + f(x′)

называется уравнением Клеро. Пусть в нем f: R → R дважды непрерывно дифференцируема и f′′(p) ≠ 0 при всех p ∈ R. Докажите, что кривая, параметрически задаваемая равенствами t = –f′(σ), x = –σf′(σ) + f(σ) является огибающей семейства решений уравнения Клеро.

О6.19. Опишите множество решений уравнения Клеро x = tx′ – (x′)².

О6.20. Опишите множество решений уравнения Клеро x = tx′ – (x′)³ (обратите внимание, что для него условия задачи О6.18 не выполнены).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 16 Jan 2000, 16:53.
Last modified 23 Apr 2002.