![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.1.2. Аксиома материального континуума | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Сплошная среда в каждый момент времени есть материальный
континуум.
Это означает, что определены понятия массы и внутренней
энергии каждого объема сплошной среды. Более подробно. Объемом в R3 называется любая область (открытое связное множество) с кусочно
гладкой границей. Предполагается, что определена масса любого объема ω, т. е. задана функция множества M: ω → M(ω) и эта функция есть мера, т. е. неотрицательная счетно-аддитивная функция множества: M(∪∞i=1ωi) = ∑∞i=1M(ω),если ωi ∩ ωj = ∅ при всех i ≠ j. Более того, предполагается, что функция
M непрерывна
в следующем смысле: M(ω) → 0 при mes ω → 0, где mes ω мера Лебега множества ω (понятие меры Лебега будет строго введено в курсе математического анализа, пока же можно считать, что mes ω это объем области ω в смысле, описываемом в курсе школьной геометрии). В курсе функционального анализа будет доказано, что в этом случае существует неотрицательная функция ρ :
R3 → R такая, что для любого объема Ω
|
(здесь ω элементарный объем). Эта функция называется плотностью) (удельной массой) сплошной среды. Можно показать, что
ρ(x) = | lim ε→0 | M[Bε(x)] 4πε3/3 | , |
|
где Bε(x) шар в R3 радиуса ε с центром в x (а 4πε3/3,
разумеется, объем mes Bε(x) этого шара). Последнее полностью согласуется со школьным физическим
определением плотности.
Подчеркнем, что переход от массы к плотности, в математическом
смысле означает переход от весьма сложного математического
объекта функций множества (т. е.
функций, заданных на множестве подмножеств пространства
R3) к существенно
более простым математическим объектам функциям точки. Последние существенно более хорошо изучены. К ним
можно применять развитый аппарат математического анализа.
Точно так же аксиома материального континуума предполагает наличие
у каждого объема внутренней энергии, т. е. существование непрерывной меры Ei. Наличие представления внутренней энергии вида (1) позволяет ввести понятие удельной объемной энергии ei:
Обычно удобнее пользоваться удельной внутренней
энергией U(x) ≡ ei(x)/ρ(x) (т. е. энергией, отнесенной к единице
массы). Таким образом,
Ei(Ω) =
| ∫∫∫ Ω | ρ(x)U(x) dω = | ∫∫∫ Ω | ρU dω. |
|
(2) |