1.1.2. Аксиома материального континуума

Сплошная среда в каждый момент времени есть материальный континуум.

Это означает, что определены понятия массы и внутренней энергии каждого объема сплошной среды. Более подробно. Объемом в R3 называется любая область (открытое связное множество) с кусочно гладкой границей. Предполагается, что определена масса любого объема ω, т. е. задана функция множества M: ω → M(ω) и эта функция есть мера, т. е. неотрицательная счетно-аддитивная функция множества: M(∪∞i=1ωi) = ∑∞i=1M(ω),если ωi ∩ ωj = ∅ при всех i ≠ j. Более того, предполагается, что функция M непрерывна в следующем смысле: M(ω) → 0 при mes ω → 0, где mes ω — мера Лебега множества ω (понятие меры Лебега будет строго введено в курсе математического анализа, пока же можно считать, что mes ω — это объем области ω в смысле, описываемом в курсе школьной геометрии). В курсе функционального анализа будет доказано, что в этом случае существует неотрицательная функция ρ : R3 → R такая, что для любого объема Ω

M(Ω) =  ∫∫∫ Ω ρ(x) dω

(1)

(здесь ω — элементарный объем). Эта функция называется плотностью) (удельной массой) сплошной среды. Можно показать, что

ρ(x) =  lim ε→0 M[Bε(x)] 4πε3/3 ,

где B_ε(x) — шар в R³ радиуса ε с центром в x (а 4πε³/3, — разумеется, объем mes B_ε(x) этого шара). Последнее полностью согласуется со школьным физическим определением плотности.

Подчеркнем, что переход от массы к плотности, в математическом смысле означает переход от весьма сложного математического объекта — функций множества (т. е. функций, заданных на множестве подмножеств пространства R³) к существенно более простым математическим объектам — функциям точки. Последние существенно более хорошо изучены. К ним можно применять развитый аппарат математического анализа.

Точно так же аксиома материального континуума предполагает наличие у каждого объема внутренней энергии, т. е. существование непрерывной меры E_i. Наличие представления внутренней энергии вида (1) позволяет ввести понятие удельной объемной энергии e_i:

Ei(Ω) =  ∫∫∫ Ω ei(x) dω.

Обычно удобнее пользоваться удельной внутренней энергией U(x) ≡ e_i(x)/ρ(x) (т. е. энергией, отнесенной к единице массы). Таким образом,

Ei(Ω) =  ∫∫∫ Ω ρ(x)U(x) dω =  ∫∫∫ Ω ρU dω.

(2)