1.1.1. Аксиома пространства-времени

Пространство — трехмерное евклидово аффинное пространство, время — одномерное евклидово аффинное пространство. Время абсолютно.

Аффинное пространство — это множество (точек) X, на котором определено понятие векторов [xy] с началом x ∈ X и концом в y ∈ Y, т. е. задано отображение (x, y) → [xy] из X × X в линейное пространство E (называемое присоединенным), обладающее следующими свойствами:

1) для любой фиксированной точки x ∈ X отображение y → [xy] есть биекция (взаимно однозначное отображение) X на E;

2) [xy] + [yz] + [zx] = 0 для любых x, y, z ∈ X.

Таким образом, в аффинном пространстве нулем может быть объявлена любая точка.

Если присоединенное пространство евклидово, т. е. в нем задано скалярное произведение, то пространство X называется евклидовым аффинным. Размерность X, по определению, есть размерность E.

Сцена, на которой разыгрывается наше действие, есть трехмерное евклидово пространство R³, аффинная структура в котором задается отображением (x, y) → y – x. Скалярное произведение в R³ индуцирует в нем норму: |x| = √x·x. Норма же и скалярное произведение в R³ позволяют определить длину вектора и скалярное произведение векторов: |[xy]| = |y – x|, [xy]·[uv] = (y – x)·(v – u).

(Кстати, древние не наделяли окружяющий мир аффинной структурой — начало пространства определялось геоцентризмом взглядов, а начало времени — сотворением мира).

Поясним фразу "Время абсолютно". Окружающий мир в пространственно-временном смысле представляется точками пространства R⁴ = R³ × R, называемых мировыми точками, или событиями. Время есть линейное отображение t: R⁴ → R мира на "ось времени". Промежуток времени между событиями A, B ∈ R⁴ есть число t(B – A). Если t(B – A) = 0, то события A и B называются одновременными. Линейность отображения t гарантирует изоморфизм пространства одновременных событий (ядра отображения) t пространству R³. Наличие этого изоморфизма позволяет говорить об абсолютно одновременных событиях (в отличие от различных релятивистских теорий).