1.1.8. Анализ сил

Мы будем рассматривать всего два класса сил, действующих на сплошную среду — внешние массовые и внутренние поверхностные силы.

Первая из этих сил F_e(ω) пропорциональна массе объема (типичным представителем таких сил является сила тяжести). Если потребовать, чтобы внешняя сила была непрерывной мерой, то у нее будет существовать объемная плотность f_e:

Fe(ω) =  ∫∫∫ ω fe(x) dω.

Как и выше, удобно пользоваться массовой плотностью f(x) = f_e(x)/ρ(x):

Fe(ω) =  ∫∫∫ ω ρ(x)f(x) dω =  ∫∫∫ ω ρf dω.

Момент внешней силы тогда определяется равенством

Ge(ω) =  ∫∫∫ ω ρ(x×f) dω.

Эксперименты показывают, что кроме сил, действующих на объем (массу), имеются силы, действующие на поверхность ∂ω (например, силы давления, внутреннего трения и т. п.) Разумеется, сила должна действовать на массу, поэтому поверхностные силы представляют собой некую идеализацию. Можно представлять, сто это силы, действующие на тонкие слои сплошной среды. Для того, чтобы определить эти силы, рассмотрим сечение σ области Ω на области Ω₁ и Ω₂ плоскостью Σ. Пусть n — нормаль к Σ, направленная, скажем, в сторону Ω₂ (см. рис. 1.2). Формулируемая ниже аксиома внутренних поверхностных сил вводит вектор силы F_s(σ), действующей на часть объема Ω₁ со стороны части объема Ω₂ через плоскую область σ. Если предполагать, что F_s(σ) — непрерывная плоская мера, то имеет место интегральное представление

Fs(σ) =  ∫∫ σ pn(x) dσ.

(7)

Величина p_n(x) называется вектором напряжений внутренних поверхностных сил. Она позволяет говорить о векторе внутренних поверхностных сил, действующих на данный объем.

Рис. 1.2.