1.4.1. Деформация сплошной среды

Пусть x = γ(ξ, t) — движение сплошной среды. Разумеется, при движении первоначальная конфигурация Ω₀ сплошной среды переходит в "деформированную" конфигурацию Ω_t, при которой изменяется взаимное положение частиц сплошной среды. Зафиксируем некоторую частицу p₀ ∈ Ω₀. Тогда ее положение в нулевой момент времени есть ξ₀, а в момент времени t — x₀ = γ(ξ₀, t). Вектор w₀ = x₀ – ξ₀ называется вектором перемещения частицы p₀. Пусть e₁ ∈ S — произвольный орт, ξ₁ = ξ₀ + se₁, а x₁ = γ(ξ₁, t) (s > 0) (см. рис. 4.1). Относительным удлинением в направлении e₁ называется число

l(e) =  lim s→0 |x1 – x0| – |ξ1 – ξ0| |ξ1 – ξ0| .

Рис. 4.1.

Пусть теперь e₂ ∈ S, ξ₂ = ξ₀ + se₂, x₂ = γ(ξ₂, t), φ — угол между векторами ξ₁ – ξ₀ и ξ₂ – ξ₀ (или, что то же, между ортами e₁ и e₂), а ψ_s — угол между векторами x₁ – x₀ и x₂ – x₀:   cos ψ_s = (x₁ – x₀)·(x₂ – x₀)/[|x₁ – x₀|·|x₂ – x₀|] (см. рис. 4.1). Относительным сдвигом направлений e₁ и e₂ называется число

τ(e1, e2) =  lim s→0 ψs – φ.

Относительные удлинения и сдвиги полностью характеризуют деформации малой окрестности частицы p₀, поскольку описывают, как изменяются расстояния и углы при движении сплошной среды.