1.4.2. Тензор деформации Лагранжа

Для аналитического описания деформации в случае, когда движение γ дифференцируемо, определим тензор T, называемый тензором дисторсии, равенством

T =  ∂x ∂ξ  =  ∂ ∂ξ γ(ξ0, t).

Тогда, очевидно,

x1 – x0 = γ(ξ0 + se1, t) – x0 = T⟨se1⟩ + o(s).

(1)

Определим теперь тензор деформации Лагранжа L равенством

2L = T*ºT – I.

Тогда из (1) очевидным образом вытекают равенства

l(e1) =  √ 2e1·L⟨e1⟩ + 1  – 1

(2)

cos( lim s→0 ψs) =  e1·e2 + 2e1·L ⟨e2⟩ [l(e1) + 1][l(e2) + 1] .

(3)

В самом деле,

l(e1) =  lim s→0 |x1 – x0| – |ξ1 – ξ0| |ξ1 – ξ0|  =

=  lim s→0 |T⟨se1⟩ + o(s)| – |se1| |se1|  =

= |T⟨e1⟩| – 1 = √ T⟨e1⟩·T⟨e1⟩ – 1 =

= √ e1·(T*ºT)⟨e1⟩ – 1 = √ e1·(2L + I)⟨e1⟩ – 1 =

= √ 2e1·L⟨e1⟩ + 1 – 1.

Далее, аналогично,

|x1 – x0| = |T⟨se1⟩ + o(s)| = |T⟨se1⟩| + o(s) =

= √ T⟨se1⟩·T⟨se1⟩ + o(s) = s √ e1·(T*ºT)⟨se1⟩ + o(s) =

= s √ e1·(2L + I)⟨se1⟩ + o(s) = s √ 2e1·L⟨se1⟩ + 1 + o(s) =

= s(l(e1) + 1) + o(s).

Поэтому

cos( lim s→0 ψs) =  lim s→0 (x1 – x0)·(x2 – x0) |x1 – x0|·|x2 – x0|  =

=  lim s→0 [T⟨se1⟩ + o(s)]·[T⟨se2⟩ + o(s)] [s(l(e1) + 1) + o(s)]·[s(l(e2) + 1) + o(s)]  =

=  lim s→0 (T⟨e1⟩ + O(s))·(T⟨e2⟩ + O(s)) [(l(e1) + 1) + O(s)]·[(l(e2) + 1) + O(s)]  =

=  T⟨e1⟩·T⟨ e2⟩ [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1]  =  e1·e2 + e1·(T*ºT)⟨e2⟩ – e1·e2 [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1]  =

=  e1·e2 + 2e1·L⟨e2⟩ [l(e1) + 1]·(l(e2) + 1) .

Можно показать, что знание тензорной функции L(ξ, t) позволяет полностью определить конфигурацию Ω_t сплошной среды.