![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.4.2. Тензор деформации Лагранжа | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Для аналитического описания деформации в
случае, когда движение γ дифференцируемо, определим тензор T, называемый тензором дисторсии, равенством
Тогда, очевидно,
x1 x0 = γ(ξ0 + se1, t) x0 = T〈se1〉 + o(s). | (1) |
Определим теперь тензор деформации Лагранжа L равенством
Тогда из (1) очевидным образом вытекают
равенства
l(e1) = | √ |
2e1·L〈e1〉 + 1
| 1 |
| (2) |
cos( | lim s→0 | ψs) = | e1·e2 + 2e1·L 〈e2〉 [l(e1) + 1][l(e2) + 1] | . |
| (3) |
В самом деле,
l(e1) = | lim s→0 | |x1 x0| |ξ1
ξ0| |ξ1 ξ0| | = |
|
= | lim s→0 | |T〈se1〉 + o(s)| |se1| |se1| | = |
|
= |T〈e1〉| 1 = | √ | T〈e1〉·T〈e1〉
| | 1 = |
|
= | √ | e1·(T*ºT)〈e1〉
| | 1 = | √ | e1·(2L + I)〈e1〉
| | 1 = |
|
Далее, аналогично,
|x1 x0| = |T〈se1〉 + o(s)| = |T〈se1〉| + o(s) = |
= | √ | T〈se1〉·T〈se1〉
| + o(s) = s | √ | e1·(T*ºT)〈se1〉
| + o(s) = |
|
= s | √ | e1·(2L + I)〈se1〉
| + o(s) = s | √ | 2e1·L〈se1〉 + 1
| + o(s) = |
|
Поэтому
cos( | lim s→0 | ψs) = | lim s→0 | (x1 x0)·(x2 x0) |x1 x0|·|x2 x0| | = |
|
= | lim s→0 | [T〈se1〉 + o(s)]·[T〈se2〉 + o(s)] [s(l(e1) + 1) + o(s)]·[s(l(e2) + 1) + o(s)] | = |
|
= | lim s→0 | (T〈e1〉 + O(s))·(T〈e2〉 + O(s)) [(l(e1) + 1) + O(s)]·[(l(e2) + 1) + O(s)] | = |
|
= |
T〈e1〉·T〈 e2〉 [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1] |
= |
e1·e2 + e1·(T*ºT)〈e2〉 e1·e2 [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1] |
= |
|
= |
e1·e2 +
2e1·L〈e2〉 [l(e1) +
1]·(l(e2) + 1) |
. |
|
Можно показать, что знание тензорной функции L(ξ, t) позволяет полностью определить конфигурацию Ωt сплошной среды.