Факультативно
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим функцию φ равенством
φ(|x|) = | { | 0, если φ(x) = 0 или x = 0, | x·φ(x)/|x|2, если φ(x) ≠ 0. |
|
|
Мы должны доказать, во-первых, корректность определения φ, т. е. показать, что φ(|x|) = φ(|y|), если |x| = |y|, и, во-вторых, что функция φ искомая, т. е. доказать равенство (18).
Корректность следует из изотропности функции φ. Действительно, если |x| = |y|, то найдется ортогональное преобразование O такое, что y = O〈x〉. Но тогда
φ(|y|) = y·φ(y)/|y|2 =
= O〈x〉·φ(O〈 x〉)/|x|2 = O〈x〉·O〈 φ(x)〉/|x|2 =
= (O*〈x〉ºO〈x〉)·φ(x)/|x|2 = x·φ(x)/|x|2 = φ(|x|). |
Докажем (18). Если x = 0, то и φ(x) = 0. В самом деле, φ(0) = O*〈φ(0)〉 = O*〈
φ(0)〉 и поэтому φ(0) = 0, т. к. O произвольный поворот. Если φ(x) = 0, то, очевидно, и φ(|x|) = 0, что гарантирует (18). Наконец, если x таков, что φ(x) ≠ 0, то сначала покажем, что φ(x) = ax (a ∈ R). В самом деле, Пусть Oα ортогональное преобразование поворота вокруг вектора x на угол α. В силу изотропности φ
Oα*〈 φ(x)〉= φ(Oα*〈 x〉)= φ(x), |
т. е. вектор φ(x) не изменяется при повороте вокрух x. Это может быть только в том случае, если
φ(x) = ax. Но тогда
φ(x)x = | x·φ(x) |x|2 | x = | x·ax |x|2 | x = ax = φ(x), |
|
что и требовалось.