1.6.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности

Для того, чтобы выделить из континуума решений уравнения (2) единственное нужно задать дополнительные условия (т. е. рассматривать не уравнение, а краевую задачу). Классическими краевыми задачами для уравнения теплопроводности являются следующие две. Первая из них (так и называющаяся первой краевой задачей) выделяется следующими дополнительными условиями:

u(x, 0) = u0(x),   x ∈ Ω,

(3)

и

u(x, t) = γ(x, t),   (x, t) ∈ G;

(4)

в которых u₀ и γ — заданные функции. Физический смысл начального условия (3) состоит в задании начального (в нулевой момент времени) распределения температуры в сплошной среде, а (первого) краевого условия (4) — в задании температуры на границе сплошной среды в течение всего процесса (обмен с окружающей средой).

Вторая краевая задача получается из первой заменой краевого условия (4)) на (второе) краевое условие

∂u(x, t) ∂n  = γ(x, t),   (x, t) ∈ G

(5)

(здесь n — внешняя к границе Γ нормаль). Его физический смысл — в задании потока температуры на границе в течение всего процесса. Краевые условия (4) и (5) часто записывают в виде

u|Γ = γ

и

∂u ∂n | Γ  = γ.

Для уравнения (1) заданием начального условия (3) и одного из краевых условий (4) или (5) также формулируются первая и вторая краевые задачи.

Мы будем предполагать, что начально-краевые задачи (1), (4), (5) и (2), (4), (5) однозначно разрешимы и их решения обладают всеми нужными нам производными. Условия, при которых это предположение выполняется, будут приведены позже, в курсе "Уравнения математической физики".