1.6.5. Стационарное уравнение теплопроводности

Решение u уравнения (1) или уравнения (2) называется стационарным, если оно не зависит от времени: u(x, t) ≡ u(x, 0) (мы предполагаем, естественно, что f также не зависит от t). Для стационарного решения, очевидно, du/dt ≡ 0. Сохраним за функцией x → (x, 0) то же обозначение u. Тогда стационарное решение уравнения (1) будет удовлетворять уравнению

div (κ∇u) = –f(x),   x ∈ Ω,

(6)

а решение уравнения (2) — уравнению

Δu = –f(x),   x ∈ Ω.

(7)

Эти уравнения называются иногда стационарными уравнениями теплопроводности, хотя такие уравнения описывают целый ряд различных процессов. Они (уравнения) также являются представителями широкого класса уравнений в частных производных, а именно, эллиптических уравнений, или уравнений эллиптического типа.

Уравнение (7) называют также уравнением Пуассона, а в случае, когда f(x) ≡ 0 — уравнением Лапласа.