1.6.3. Уравнение теплопроводности

Рассмотрим процесс теплопередачи в покоящейся идеальной жикости, занимающей объем Ω ∈ R³. Уравнение (9), описывающее этот процесс, запишем в виде

du dt  = div (κ∇u) + f,   (x, t) ∈ Ω × [0, T],

(1)

до конца курса сменив обозначение для неизвестной функции (температуры) на u. В этом уравнении κ — коэффициент теплопроводности, а f — некоторая функция, характеризующая приток тепла извне. В дальнейшем цилиндр Ω × [0, T] ∈ R³ × R с основанием Ω всегда обозначается через D, граница основания ∂Ω — через Γ, а его боковая поверхность Γ × [0, T] — через G.

Если среда однородна (т. е. κ не зависит от (x, t)), то это уравнение (1) может быть переписано в виде

du dt  = KΔu + f,   (x, t) ∈ D.

Последнее же уравнение заменой переменных, например, t → Kt сводится к уравнению

du dt  = Δu + f,   (x, t) ∈ D

(2)

(здесь за изменившимися f, T и D мы сохраняем те же обозначения).

Уравнение (2) является типичным представителем большого класса уравнений в частных производных — т. н. параболических уравнений, или уравнений параболического типа.