Глава II. Дискретные модели

Как уже говорилось, получающиеся математические модели сплошных сред весьма сложны для исследования. В явном виде решения получающихся систем дифференциальных уравнений можно выписать только в исключительных случаях. Качественное исследование также весьма затруднено из-за большой математической сложности объекта. Например, для краевой задачи для трехмерных уравнений Навье — Стокса до сих пор неизвестен так называемый класс корректности нелокальных решений, т. е. функциональное пространство, в котором нелокальное решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.

В силу этого большую роль при исследовании математических моделей сплошной среды играют приближенные методы — методы, позволяющие в том или ином смысле приближенно найти решения соответствующих уравнений. Среди этих методов наиболее широкое распространение получили так называемые конечно-разностные, или сеточные методы. Суть их состоит в сведéнии дифференциальных уравнений, описывающих сплошную среду, к конечномерной системе алгебраических уравнений. В этой части нашего курса мы описываем основные понятия, принципы и приемы исследования моделей механики сплошной среды с помощью конечно-разностных методов.