1.5.9. Несжимаемая жидкость

Опыт показывает, что в довольно широком классе течений многих жидкостей даже большие изменения давления не приводит к существенному изменению плотности. Поэтому в таком классе плотность можно считать константой. Проследим за математическими следствиями предположения ρ = const.

Во-первых, среда сразу же становится в термодинамическом смысле однопараметрической. В качестве независимого параметра в этом случае обычно выбирается абсолютная температура Θ. Далее, давление перестает быть термодинамическим параметром состояния, поскольку перестает участвовать в основном термодинамическом тождестве: ρ = const ⇒ V= 1/ρ = const ⇒ dV = 0, и слагаемое pdV исчезает из основного термодинамического тождества. Более того,основное термодинамическое тождество принимает вид

dU = Θds,

свидетельствующий о том, что приток тепла в среду идет только на увеличение ее внутренней энергии. Это, как мы увидим ниже, позволяет выделить уравнение притока тепла из модели и решать его независимо. Пока же мы исключим его из модели.

Далее, так как ρ = const, уравнение неразрывности принимает вид

div v = 0,

поэтому вязкость λ перестает играть какую-либо роль в модели (она фигурирует только в уравнении сохранения импульса с множителем div v). Такимо бразом, остается только вязкость μ. Удобно и принято вместо μ вводить коэффициент кинематической вязкости ν = μ/ρ. В общем случае коэффициент кинематической вязкости может довольно сильно зависеть от температуры ν = ν(Θ) (например, в магматических расплавах вязкость в зависимости от температуры может отличаться на несколько порядков). Однако в простейшей модели, рассматриваемой нами, мы будем считать, что ν = const. Такое ограничение оставляет класс описываемых жидкостей достаточно широким.

Упростим уравнение сохранения импульса. Для этого достаточно заметить, что

div ( ∂v ∂x ) * = ∇(div v),  а div ( ∂v ∂x )  = Δv

(здесь Δ — оператор Лапласа), и поэтому, в силу постоянства μ,

div (2μD) = div [ 2μ 1 2 ( ∂v ∂x  +  ( ∂v ∂x ) * ) ]  = μΔv.

Уравнение неразрывности и уравнение сохранения инмульса (после деления его на ρ) составляют математическую модель вязкой несжимаемой жидкости:

(F3) { div v = 0, dv dt  = –  1 ρ ∇p + νΔv + f.

Эта система уравнений называется системой уравнений Навье — Стокса и представляет собой систему из четырех скалярных уравнений для четырех скалярных неизвестных v, p. Модель (F3) — одна из наиболее широко применяющихся моделей жидкости.

Вернемся к уравнению притока тепла. Тот факт, что приток тепла идет только на изменение внутренней энергии (dU = Θds), означает, что среда обладает свойством воспринимать тепловую энергию при неизменном объеме. Это свойство называется теплоемкостью и характеризуется величиной C_V = ∂U(Θ, V)/∂Θ. Функция C_V(Θ) определяется экспериментально и известна для широкого спектра сред. Таким образом, dU = C_V dΘ. Но тогда уравнение притока тепла можно записать в виде

ρCV dΘ dt = div (κ∇Θ) + 2νρ(D′ : D)

(здесь мы учли, что div v = 0). Или, после деления на ρC_V,

dΘ dt  =  1 ρCV div (κ∇Θ) + Φ′,

где диссипативная функция Φ′ = (2ν/C_V)D′: D. Поэтому тепловые потоки в среде не влияют на движение среды и могут быть найдены уже после нахождения v, p.

Построенная модель Навье — Стокса обладает многими достоинствами, обуславливающими ее широкую распространенность. Одним из основных является тот факт, что в ней фигурируют только две константы (не функции!), нуждающиеся в экспериментальном нахождении: это плотность ρ и кинематическая вязкость ν. Эти константы с большой степенью точности и надежности определяются экспериментально.

Последним из рассматриваемых нами упрощений моделей сплошной среды будет отказ от учета эффектов, вызванных наличием вязкости.