Глава I. Непрерывные модели | § 1.5. Модели жидкостей |
![]() | 1.5.9. Несжимаемая жидкость | ![]() |
Опыт показывает, что в довольно широком классе течений многих жидкостей даже большие изменения давления не приводит к существенному изменению плотности. Поэтому в таком классе плотность можно считать константой. Проследим за математическими следствиями предположения
Во-первых, среда сразу же становится в термодинамическом смысле однопараметрической. В качестве независимого параметра в этом случае обычно выбирается абсолютная температура Θ. Далее, давление перестает быть термодинамическим параметром состояния, поскольку перестает участвовать в основном термодинамическом тождестве:
dU = Θds, |
свидетельствующий о том, что приток тепла в среду идет только на увеличение ее внутренней энергии. Это, как мы увидим ниже, позволяет выделить уравнение притока тепла из модели и решать его независимо. Пока же мы исключим его из модели.
Далее, так как ρ = const, уравнение неразрывности принимает вид
div v = 0, |
поэтому вязкость λ перестает играть какую-либо роль в модели (она фигурирует только в уравнении сохранения импульса с множителем
Упростим уравнение сохранения импульса. Для этого достаточно заметить, что
|
(здесь Δ оператор Лапласа), и поэтому, в силу
|
Уравнение неразрывности и уравнение сохранения инмульса (после деления его на ρ) составляют математическую модель вязкой несжимаемой жидкости:
|
Эта система уравнений называется системой уравнений
Вернемся к уравнению притока тепла. Тот факт, что приток тепла идет только на изменение внутренней энергии
|
(здесь мы учли, что div v = 0). Или, после деления на
|
где диссипативная функция
Построенная модель
Последним из рассматриваемых нами упрощений моделей сплошной среды будет отказ от учета эффектов, вызванных наличием вязкости.