1.6.7. Замечание о размерности

В некоторых случаях в вышеописанных задачах можно считать, что область Ω двух- или одномерна, а ее граница Γ, соответственно, одно- или нульмерна. Например, такая ситуация возникает в случае, когда исходная область Ω представляет собой "почти плоскую область" (например, пластину или пленку), лежащую (вернее, "почти лежащую" в плоскости xy). Тогда изменением температуры в направлении оси z можно пренебречь и считать Ω двумерной областью. Точно так же, если исходная область "почти линейна" (например, тонкий стержень или нить), то можно считать Ω одномерной областью (интервалом).

В последнем случае, например, задача Дирихле для уравнения Пуассона превращается в обычную двухточечную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:

u′′ = f(x),   x ∈ Ω = (a, b), u(a) = γ0,   u(b) = γ1.