0.2.1. Пространство линейных отображений

Пусть R^m и Rⁿ — линейные нормированные пространства. Отображение L: R^m → Rⁿ называется линейным, если

L⟨αx + βy⟩ = αL⟨x⟩ + βL⟨y⟩

при всех x, y ∈ R^m и α, β ∈ R (здесь и всюду ниже через L⟨x⟩ обозначается значение отображения L на векторе x).

Множество всех линейных отображений из R^m в Rⁿ становится линейным пространством, если ввести в нем операции сложения и умножения на скаляры формулами

(L + K)⟨x⟩ = L⟨x⟩ + K⟨x⟩,   αL⟨x⟩ = L⟨αx⟩.

Это пространство в дальнейшем обозначается L(R^m, Rⁿ). Если m = n, то используется обозначение L(R^m).

Пространство L(R^m, Rⁿ) превращается в нормированное, если положить

||L|| =  sup x ∈ Rm, x ≠ 0 ||L⟨x⟩||Rn ||x||Rm .

(8)