0.2.2. Изометрия нормированных пространств

Два линейных нормированных пространства E1 и E2 называются изометричными, если существует линейное отображение ℑ: E1 → E2 такое, что ||ℑ⟨x⟩||E2 = ||x||E1. Отображение ℑ называется изометрией. С точки зрения линейной и метрической структуры изометрические пространства неразличимы. Изометричность пространств E1 и E2 обычно обозначается знаком "∼": E1 ∼E 2.

П р и м е р. Пространство L(R^m, R) называется пространством линейных функционалов на R^m (пространством, сопряженным к R^m), его элементы называются функционалами. Сопряженное пространство обозначается обычно (R^m)*, или R^m*.

Нетрудно видеть, что R^m* ∼ R^m. Изометрию R^m* → R^m можно задать формулой

ℑ⟨ f ⟩ = f ⟨ei⟩ei,

(9)

где {e_i} — произвольный базис в R^m, а {eⁱ} — соответствующий кобазис. Таким образом, функционал f отождествляется с вектором ℑ⟨ f ⟩. Этот вектор, в свою очередь, определяет функционал f формулой

f ⟨x⟩ = (ℑ⟨ f ⟩)·x.