![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
0.3.1. Определения | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Пусть (Rm)r = (Rm × ... × Rm), а T: (Rm)r → R отображение, линейное по каждому из своих r векторных аргументов при произвольных фиксированных значениях остальных. Последнее означает, что при любых
s ∈ {1, ..., r 1} и x1, ..., xr1 ∈ Rm отображение
x → T〈x1, ..., xs, x, xs+1, ..., xr1〉 |
линейно как отображение из Rm в R. Такие отображения (полилинейные функционалы) называются тензорами в Rm, при этом число r называется рангом или валентностью тензора T.
Множество таких тензоров обозначается Tr(Rm) и образует линейное пространство с естественными операциями сложения и умножения на скаляры.
Пусть {ei} базис в
Rm, а {ei} его кобазис. Любое число вида T〈x1, ..., xr〉, где xs ∈
{ei}∪{ei} (s = 1, ..., r) называется компонентой тензора T. Если все xs ∈ {ei}, то компонента называется ковариантной, а если xs
∈ {ei}, то контравариантной; остальные компоненты называются смешанными. Тензор ранга r, очевидно, имеет в данном базисе (2m)r различных компонент, среди которых mr ковариантных и mr контравариантных. Число различных типов (или видов) компонент тензора (среди которых мы выделили два ковариантные и контравариантные), очевидно, равно 2r.
Ковариантные компоненты тензора T〈ei1, ..., eir 〉 обычно обозначают через Ti1...ir, а контравариантные компонентны T〈ei1, ..., eir 〉 через
Ti1...ir. Обозначения для смешанных компонент становятся ясными из примеров: |
T j·k·i·= T〈e j, ei, ek 〉, T jk·l··i·= T〈e j, ek, ei, e l 〉. |