0.3.1. Определения

Пусть (R^m)^r = (R^m × ... × R^m), а T: (R^m)^r → R — отображение, линейное по каждому из своих r векторных аргументов при произвольных фиксированных значениях остальных. Последнее означает, что при любых s ∈ {1, ..., r – 1} и x₁, ..., x_r–1 ∈ R^m отображение

x → T⟨x1, ..., xs, x, xs+1, ..., xr–1⟩

линейно как отображение из R^m в R. Такие отображения (полилинейные функционалы) называются тензорами в R^m, при этом число r называется рангом или валентностью тензора T.

Множество таких тензоров обозначается T^r(R^m) и образует линейное пространство с естественными операциями сложения и умножения на скаляры.

Пусть {e_i} — базис в R^m, а {eⁱ} — его кобазис. Любое число вида T⟨x₁, ..., x_r⟩, где x_s ∈ {e_i}∪{eⁱ} (s = 1, ..., r) называется компонентой тензора T. Если все x_s ∈ {e_i}, то компонента называется ковариантной, а если x_s ∈ {eⁱ}, то контравариантной; остальные компоненты называются смешанными. Тензор ранга r, очевидно, имеет в данном базисе (2m)^r различных компонент, среди которых m^r ковариантных и m^r контравариантных. Число различных типов (или видов) компонент тензора (среди которых мы выделили два — ковариантные и контравариантные), очевидно, равно 2^r.

Ковариантные компоненты тензора T⟨ei1, ..., eir ⟩ обычно обозначают через Ti1...ir, а контравариантные компонентны T⟨ei1, ..., eir ⟩ — через Ti1...ir. Обозначения для смешанных компонент становятся ясными из примеров:

T j·k·i·= T⟨e j, ei, ek ⟩,   T jk·l··i·= T⟨e j, ek, ei, e l ⟩.