0.5.1. Задача Коши

Пусть f: R^m × R → R^m — непрерывно дифференцируемое отображение. Рассмотрим задачу Коши

x′ = f(x, t),   t ≥ 0,

(16)

x(0) = ξ ∈ Rm,

(17)

где ξ — векторный параметр. Известно (это утверждение классической теоремы Коши — Пикара), что в этом случае решение задачи Коши (16) – (17) на некотором интервале [0, T] существует и единственно. Если дополнительно потребовать ограниченности производной f по x: |∂f(x, t)/∂x| ≤ M < ∞ при всех (x, t) ∈ R^m × R, то можно утверждать существование и единственность решения на всей оси R.