0.5.2. Уравнение в вариациях

Обозначим решение задачи Коши (16) – (17) через x(ξ, ·). Теорема о дифференцируемости решений по начальным данным утверждает, что отображение (ξ, t) → x(ξ, t) непрерывно дифференцируемо и что функция t → ∂x(ξ, t)/∂ξ при каждом ξ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

x′ =  ∂f(x, t) ∂x | x=x(ξ, t) ⟨x⟩,

(18)

называемому уравнением в вариациях, т. е. имеет место тождество (в сокращенной записи)

d dt ∂x ∂ξ  =  ∂f ∂x ⟨ ∂x ∂ξ ⟩ .