 |
0.4.2. Дифференцируемые поля |  |
Поле f, по определению, дифференцируемо в точке x0 ∈ U, если найдется отображение L ∈ L(Rk, E) такое, что
|f(x0 +
h) f(x0) L〈h〉|E |h|Rk | → 0 при |h|Rk → 0. |
|
Отображение L называется производной поля f в точке x0 и обозначается через fx0′ или ∂f/∂x|x=x0.
|
В случае, когда E = R производную fx0′ обозначают также через ∇f(x0) или grad f(x0) и называют градиентом поля f в точке x0. Градиент скалярного поля в каждой точке есть элемент
пространства Rk* =
T1(Rk) и, таким образом, градиент скалярного поля есть поле тензоров первого
ранга. |
Если поле f дифференцируемо в каждой точке U, то говорят, что f дифференцируемо. Если отображение x → fx′ непрерывно как отображение из U в L(Rk, E), то говорят, что поле непрерывно дифференцируемо.
Известно, что если f: U → E, а g: E → E1 (где E1, как и E линейное нормированное пространство) и эти отображения непрерывно дифференцируемы, то таковым является и суперпозиция g°f: U → E1 и, более того, для любого |
∂g°f ∂x | | |
x = x0 | = | ∂g ∂x | | |
x = f(x0) | ° | ∂f ∂x | | |
x = x0 | . |
|
Тривиально проверяется также, что если E = L(Rm), или E =T2(Rm), а f: U → E непрерывно дифференцируемое отображение, то f * также непрерывно дифференцируемо и