0.4.2. Дифференцируемые поля

Поле f, по определению, дифференцируемо в точке x₀ ∈ U, если найдется отображение L ∈ L(R^k, E) такое, что

|f(x0 + h) – f(x0) – L⟨h⟩|E |h|Rk → 0 при |h|Rk → 0.

Отображение L называется производной поля f в точке x0 и обозначается через fx0′ или ∂f/∂x|x=x0.

В случае, когда E = R производную fx0′ обозначают также через ∇f(x0) или grad f(x0) и называют градиентом поля f в точке x0. Градиент скалярного поля в каждой точке есть элемент пространства Rk* = T1(Rk) и, таким образом, градиент скалярного поля есть поле тензоров первого ранга.

Если поле f дифференцируемо в каждой точке U, то говорят, что f дифференцируемо. Если отображение x → f_x′ непрерывно как отображение из U в L(R^k, E), то говорят, что поле непрерывно дифференцируемо.

Известно, что если f: U → E, а g: E → E1 (где E1, как и E — линейное нормированное пространство) и эти отображения непрерывно дифференцируемы, то таковым является и суперпозиция g°f: U → E1 и, более того, для любого

∂g°f ∂x | x = x0  =  ∂g ∂x | x = f(x0) ° ∂f ∂x | x = x0 .

Тривиально проверяется также, что если E = L(R^m), или E =T²(R^m), а f: U → E — непрерывно дифференцируемое отображение, то f * также непрерывно дифференцируемо и

∂f * ∂x  =  ( ∂f ∂x ) * .