0.5.3. Формула Эйлера

Здесь описывается дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариант J₃ отображения ∂x/∂ξ, т. е. функция J = J(ξ, t) = det(∂x/∂ξ). Оказывается,

d dt J = J·div f.

Эта формула и называется формулой Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть X и F — матрицы отображений ∂x(ξ, t)/∂ξ и ∂f(x, t)/∂x в базисе {e_i}:

Xji = ei· ∂x(ξ, t) ∂ξ ⟨ej⟩,   Fji = ei· ∂f(x, t) ∂x ⟨ej⟩.

В силу (18)

d dt Xji = FkiXjk.

Нам же требуется показать, что

d dt det X = det X · tr F.

Обозначим через A_k^j алгебраическое дополнение в матрице X до элемента X_i^k (обратите внимание на переставленные индексы). Тогда, как известно,

det X =  { XjkAij, если i = k, 0, если i ≠ k,

или, короче,

XjkAij = δik·det X.

Отсюда следует, что

∂ det X ∂Xji  = Aij.

Но тогда (напомним, что действует соглашение о немых индексах)

d dt det X =  m ∑ i, j = 1 ∂ det X ∂Xji · d dt Xji = Aij d dt Xji = AijFkiXjk =

(XjkAij)Fki = det X·Fkiδik = det X·Fii = det X·tr F.

что и требовалось.