![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
0.5.3. Формула Эйлера | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Здесь описывается дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариант J3 отображения ∂x/∂ξ, т. е. функция J = J(ξ, t) = det(∂x/∂ξ). Оказывается,
Эта формула и называется формулой Эйлера.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X и F матрицы отображений ∂x(ξ, t)/∂ξ и ∂f(x, t)/∂x в базисе {ei}:
Xji = ei·
| ∂x(ξ, t) ∂ξ | 〈ej〉, Fji = ei·
| ∂f(x, t) ∂x | 〈ej〉. |
|
В силу (18)
Нам же требуется показать, что
Обозначим через Akj алгебраическое дополнение в матрице X до элемента Xik (обратите внимание на переставленные индексы). Тогда, как известно,
det X = | { | XjkAij, если i = k,
0, если i ≠ k,
|
|
или, короче,
Отсюда следует, что
Но тогда (напомним, что действует соглашение о немых индексах)
d dt | det X = | m ∑ i, j = 1
| ∂ det X ∂Xji
| · |
d dt | Xji = Aij
|
d dt | Xji = AijFkiXjk =
|
|
(XjkAij)Fki = det X·Fkiδik = det X·Fii = det X·tr F. |
что и требовалось.