1.1.13. Интегральная модель сплошной среды

Теперь в уравнениях (3) – (6) определены все величины, и эти уравнения с описанными выше правыми частями составляют рассматриваемую нами (интегральную) математическую модель сплошной среды: для любого движущегося объема ω_t в любой момент времени t

(IM)  ⌈ | | | | | | | | | | | | | | | ⌊ d dt ∫∫∫ ωt  ρ dω = 0, d dt ∫∫∫ ωt  ρv dω =  ∫∫∫ ωt  ρf dω +  ∫∫ ∂ωt  pn dσ,  d dt ∫∫∫ ωt  ρ(x×v) dω =  ∫∫∫ ωt  ρ(x×f) dω +  ∫∫ ∂ωt  (x×pn) dσ,  d dt ∫∫∫ ωt ρ ( 1 2 |v|2 + U ) dω =  ∫∫∫ ωt ρvf dω +  ∫∫ ∂ωt vpn dσ +  ∫∫ ∂ωt qn dσ.

Эти уравнения называют (интегральными) законами сохранения соответственно массы, импульса (количества движения), момента импульса, (момента количества движения) и энергии.

Полученная математическая модель (IM) весьма сложна для исследования (в частности, в силу ее большой общности). Наша следующая задача — попытаться упростить модель (возможно, за счет сужения рамок ее применимости). Ниже мы покажем, что если величины, характеризующие сплошную среду, достаточно гладкие, то модель (IM) эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений в частных производных, которая допускает более полное исследование развитыми математическими средствами. Для того, чтобы привести нашу модель к системе дифференциальныз уравнений, нам потребуются некоторые новые математические понятия и факты, с описания которых и начинается следующий параграф.