1.1.4. Аксиома движения

Отображенияγ_t определены для любого t ∈ R, являются гомеоморфизмами Ω₀ на Ω_t и отображение t → γ_t есть изоморфизм аддитивной группы вещественных чисел в мультипликативеую группу отображений в R³. При каждом ξ ∈ Ω₀ отображение t → γ_t(ξ) непрерывно и кусочно-непрерывно дифференцируемо.

Эта аксиома позволяет говорить о движении материальной точки (или частицы) ξ сплошной среды; в частности, кривая {γ_t(ξ): t ∈ R} называется траекторией точки ξ ∈ Ω₀. Мы часто будем обозначать γ_t(ξ) через ξ(t).

Тот факт, что {γ_t} — группа означает, что:

1) γ₀ = I;

2) γ_t·_s = γ_{t + s}.

Эта же аксиома позволяет ввести понятие движущегося объема, т. е. объема, состоящего в процессе эволюции сплошной среды из одних и тех же частиц: ω_t = {γ_t(ξ): ξ ∈ ω₀ ⊂ Ω₀}.

В дальнейшем нам иногда будет удобно писать γ(ξ, t) взамен γ_t(ξ).

Кусочная гладкость траекторий, гарантируемая аксиомой движения, позволяет говорить о скорости частицы ξ в момент времени t: v(ξ, t) = ∂γ(ξ, t)/∂t = ξ′(t).