![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.1.5. Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Как мы уже договорились, описать сплошную среду это значит задать ее числовые характеристики. Это можно сделать, по крайней мере, двумя способами: привязывать характеристику к частице
в данный момент времени и привязывать характеристику к точке пространства, в которой в данный момент находится частица. Эти два способа называются, соответственно, лагранжевым
и эйлеровым описаниями сплошной среды. Таким образом, в лагранжевом подходе все характеристики задаются в
переменных (ξ, t) ∈ Ω0 ×
R, а в эйлеровом в переменных (x, t) ∈ {Ωt × {t}: t ∈ R}. Соответственно, координаты
(ξ, t) называются лагранжевыми координатами (или переменными), а (x, t) эйлеровыми.
Эти два описания, разумеется, эквивалентны. Если известна некоторая характеристика F в лагранжевом описании, то можно найти ее представление в эйлеровом, и наоборот. Например, если
vL(ξ, t) и
vE(x, t) лагранжево и эйлерово представления скорости, то, очевидно,
и, наоборот,
vE(x, t) =
vL(γ 1(x, t), t). |
Чтобы найти движение сплошной среды, т. е. траектории каждой частицы, в случае, когда известно поле скоростей в лагранжевом описании, достаточно найти интеграл от скорости:
γt(ξ) = ξ(t) = ξ(0) + | ∫ | t
0 | ξ′(s) ds = ξ + | ∫ | t
0 | vL(ξ,s) ds.
| |
|
Если же поле скоростей задано в эйлеровом описании, то приходится решать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
ξ′(t) = vE(ξ(t), t), ξ(0) = ξ. |
Каждое из этих описаний имеет свои преимущества и недостатки.
В частности, основные дифференциальные уравнения сплошной среды
(которые мы выведем ниже) проще в эйлеровом описании.