1.1.5. Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды

Как мы уже договорились, описать сплошную среду — это значит задать ее числовые характеристики. Это можно сделать, по крайней мере, двумя способами: привязывать характеристику к частице в данный момент времени и привязывать характеристику к точке пространства, в которой в данный момент находится частица. Эти два способа называются, соответственно, лагранжевым и эйлеровым описаниями сплошной среды. Таким образом, в лагранжевом подходе все характеристики задаются в переменных (ξ, t) ∈ Ω₀ × R, а в эйлеровом — в переменных (x, t) ∈ {Ω_t × {t}: t ∈ R}. Соответственно, координаты (ξ, t) называются лагранжевыми координатами (или переменными), а (x, t) — эйлеровыми.

Эти два описания, разумеется, эквивалентны. Если известна некоторая характеристика F в лагранжевом описании, то можно найти ее представление в эйлеровом, и наоборот. Например, если v^L(ξ, t) и v^E(x, t) — лагранжево и эйлерово представления скорости, то, очевидно,

vL(ξ, t) = vE(γ(ξ, t), t),

и, наоборот,

vE(x, t) = vL(γ – 1(x, t), t).

Чтобы найти движение сплошной среды, т. е. траектории каждой частицы, в случае, когда известно поле скоростей в лагранжевом описании, достаточно найти интеграл от скорости:

γt(ξ) = ξ(t) = ξ(0) +  ∫ t 0 ξ′(s) ds = ξ +  ∫ t 0 vL(ξ,s) ds.

Если же поле скоростей задано в эйлеровом описании, то приходится решать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

ξ′(t) = vE(ξ(t), t),   ξ(0) = ξ.

Каждое из этих описаний имеет свои преимущества и недостатки. В частности, основные дифференциальные уравнения сплошной среды (которые мы выведем ниже) проще в эйлеровом описании.