![Назад](../matmodel/images//but_prev.gif) |
1.2.3. Лемма | ![Вперед](../matmodel/images//but_next.gif) |
Пусть непрерывная в области D ⊂ Rm функция F: D → Rk функция такова, что
на любом шаре B = B(x, r) ⊂ D радиуса r с
центром в x.
Тогда F(x) ≡ 0 в D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку интеграл от функции со значениями в конечномерном пространстве определяется покоординатно, достаточно доказать утверждение леммы для скалярных функций (т. е. для случая k = 1). В предположении противного найдется точка x0 ∈ D такая, что F(x0) ≠
0. Пусть, для определенности, F(x0) > 0. В силу непрерывности F найдется r > 0 такое, что |F(x) F(x0)| ≤ F(x0)/2. Но тогда F(x) = F(x0) [F(x0) F(x)] ≥ F(x0) |F(x0) F(x)|≥ F(x0)/2 при всех x ∈ B(x0, r) = B. Поэтому
∫ B | F(x) dω ≥ | 1 2 | ∫ B | F(x0) dω = | 1 2 |
F(x0)·mes B
> 0, |
|
что противоречит условиям леммы.