1.2.3. Лемма

Пусть непрерывная в области D ⊂ R^m функция F: D → R^k функция такова, что

∫ B F(x) dω = 0

на любом шаре B = B(x, r) ⊂ D радиуса r с центром в x.

Тогда F(x) ≡ 0 в D.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку интеграл от функции со значениями в конечномерном пространстве определяется покоординатно, достаточно доказать утверждение леммы для скалярных функций (т. е. для случая k = 1). В предположении противного найдется точка x₀ ∈ D такая, что F(x₀) ≠ 0. Пусть, для определенности, F(x₀) > 0. В силу непрерывности F найдется r > 0 такое, что |F(x) – F(x₀)| ≤ F(x₀)/2. Но тогда F(x) = F(x₀) – [F(x₀) – F(x)] ≥ F(x₀) – |F(x₀) – F(x)|≥ F(x₀)/2 при всех x ∈ B(x₀, r) = B. Поэтому

∫ B F(x) dω ≥  1 2 ∫ B F(x0) dω =  1 2 F(x0)·mes B > 0,

что противоречит условиям леммы.